Exercices:
Exercice I : Suites et Probabilités
Une entreprise offre une remise de 5€ sur son site.
• La probabilité que le 1er client gagne est a₁ = 1/5.
• Si le client n gagne, le suivant gagne avec une probabilité de 3/10.
• Si le client n ne gagne pas, le suivant ne gagne pas avec une probabilité de 9/10.
On note aₙ la probabilité que le n-ième client gagne.
• La probabilité que le 1er client gagne est a₁ = 1/5.
• Si le client n gagne, le suivant gagne avec une probabilité de 3/10.
• Si le client n ne gagne pas, le suivant ne gagne pas avec une probabilité de 9/10.
On note aₙ la probabilité que le n-ième client gagne.
Question 1.1 : Relation de récurrence
Exprimer P(Aₙ₊₁ ∩ Aₙ) et P(Aₙ₊₁ ∩ nonAₙ) en fonction de aₙ. En déduire que aₙ₊₁ = 1/5 aₙ + 1/10.
• P(Aₙ₊₁ ∩ Aₙ) = P(Aₙ) × P_Aₙ(Aₙ₊₁) = aₙ × 0,3 = 0,3aₙ.
• P(Aₙ₊₁ ∩ nonAₙ) = P(nonAₙ) × P_nonAₙ(Aₙ₊₁) = (1 - aₙ) × (1 - 0,9) = 0,1(1 - aₙ).
• Par probabilités totales : aₙ₊₁ = 0,3aₙ + 0,1 - 0,1aₙ = 0,2aₙ + 0,1 = 1/5 aₙ + 1/10.
• P(Aₙ₊₁ ∩ nonAₙ) = P(nonAₙ) × P_nonAₙ(Aₙ₊₁) = (1 - aₙ) × (1 - 0,9) = 0,1(1 - aₙ).
• Par probabilités totales : aₙ₊₁ = 0,3aₙ + 0,1 - 0,1aₙ = 0,2aₙ + 0,1 = 1/5 aₙ + 1/10.
Question 1.2 : Étude de la suite auxiliaire
On pose uₙ = aₙ - 1/8. Montrer que (uₙ) est géométrique de raison q = 1/5.
uₙ₊₁ = aₙ₊₁ - 1/8 = (1/5 aₙ + 1/10) - 1/8 = 1/5 aₙ - 1/40.
En factorisant par 1/5 : uₙ₊₁ = 1/5 (aₙ - 1/8) = 1/5 uₙ.
La suite est géométrique de raison 1/5.
En factorisant par 1/5 : uₙ₊₁ = 1/5 (aₙ - 1/8) = 1/5 uₙ.
La suite est géométrique de raison 1/5.
Question 1.3 : Convergence et Logarithmes
Déterminer la limite de aₙ et trouver le plus petit entier n tel que aₙ - 1/8 ≤ 10⁻⁵.
• Comme |1/5| < 1, lim uₙ = 0, donc lim aₙ = 1/8.
• Pour l'inégalité : u₁ × (1/5)ⁿ⁻¹ ≤ 10⁻⁵. Avec u₁ = 1/5 - 1/8 = 3/40.
En utilisant ln : (n-1) ln(1/5) ≤ ln(10⁻⁵ / (3/40)).
Cela mène à n ≥ 7 (environ).
• Pour l'inégalité : u₁ × (1/5)ⁿ⁻¹ ≤ 10⁻⁵. Avec u₁ = 1/5 - 1/8 = 3/40.
En utilisant ln : (n-1) ln(1/5) ≤ ln(10⁻⁵ / (3/40)).
Cela mène à n ≥ 7 (environ).
Exercice II : Équations Différentielles
On étudie une population de marmottes y(t) (en milliers).
La fonction y est solution de : (E₂) : y'(t) = y(t) [ 1 - y(t)/K ].
On pose le changement de variable z(t) = 1/y(t).
La fonction y est solution de : (E₂) : y'(t) = y(t) [ 1 - y(t)/K ].
On pose le changement de variable z(t) = 1/y(t).
Question 2.1 : Linéarisation
Exprimer z'(t) en fonction de y'(t) et y(t). Montrer que z est solution de (E₁) : z' + z = 1/K.
• z = 1/y ⟹ z' = -y' / y².
• En remplaçant y' par l'énoncé : z' = -[ y(1 - y/K) ] / y² = -(1 - y/K) / y = -1/y + 1/K.
• Comme 1/y = z, on obtient z' = -z + 1/K, soit z' + z = 1/K.
• En remplaçant y' par l'énoncé : z' = -[ y(1 - y/K) ] / y² = -(1 - y/K) / y = -1/y + 1/K.
• Comme 1/y = z, on obtient z' = -z + 1/K, soit z' + z = 1/K.
Question 2.2 : Résolution de l'équation
Donner la solution générale de (E₁), puis en déduire que y(t) = K / (1 + ae⁻ᵗ).
• (E₁) est de la forme y' + ay = b. La solution est z(t) = C e⁻ᵗ + (1/K)/1 = C e⁻ᵗ + 1/K.
• y(t) = 1/z(t) = 1 / (C e⁻ᵗ + 1/K) = K / (K C e⁻ᵗ + 1).
• En posant a = KC, on retrouve bien y(t) = K / (1 + ae⁻ᵗ).
• y(t) = 1/z(t) = 1 / (C e⁻ᵗ + 1/K) = K / (K C e⁻ᵗ + 1).
• En posant a = KC, on retrouve bien y(t) = K / (1 + ae⁻ᵗ).
Question 2.3 : Application numérique (Sans calculatrice)
On prend K = 10. Si y(5) = 5, déterminez la valeur exacte de la population initiale y₀.
• y(5) = 5 ⟹ 10 / (1 + a e⁻⁵) = 5 ⟹ 1 + a e⁻⁵ = 2 ⟹ a = e⁵.
• À t = 0 : y₀ = 10 / (1 + a e⁰) = 10 / (1 + a).
• La valeur exacte est y₀ = 10 / (1 + e⁵).
• À t = 0 : y₀ = 10 / (1 + a e⁰) = 10 / (1 + a).
• La valeur exacte est y₀ = 10 / (1 + e⁵).