Suite géométrique : uₙ = u₀ × qⁿ
Σ géom. : S = u₀ × (1 − qⁿ) / (1 − q) [q ≠ 1]
(uv)′ = u′v + uv′ | (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
e(a−b) = eᵃ / eᵇ
e(−a) = 1 / eᵃ
(eᵃ)ⁿ = e(na) (n ∈ ℤ)
e⁰ = 1 | e¹ = e ≈ 2,718
(eu(x))′ = u′(x) · eu(x)
ef(x) > eg(x) ⟺ f(x) > g(x)
Δ > 0 : deux racines x = (−b ± √Δ) / (2a)
Δ = 0 : racine double x = −b / (2a)
Δ < 0 : pas de racine réelle
Forme factorisée : a(x−x₁)(x−x₂) [si Δ ≥ 0]
sin(0)=0 | sin(π/6)=1/2 | sin(π/4)=√2/2 | sin(π/3)=√3/2 | sin(π/2)=1
cos(−x)=cos(x) [pair] | sin(−x)=−sin(x) [impair]
cos(π−x)=−cos(x) | sin(π−x)=sin(x)
u⃗·v⃗ = ‖u⃗‖·‖v⃗‖·cosθ
u⃗ ⊥ v⃗ ⟺ u⃗·v⃗ = 0
✅ Réponse B
✅ Réponse B
Coefficient < 1 → baisse. \(1-0{,}845=0{,}155=15{,}5\%\)
✅ Réponse D — baisse de 15,5 %
Racines : \(x=-8\) et \(x=-5\). Coefficient dominant \(>0\) → positif en dehors.
\(A(x)<0\) sur \([-8;-5]\), positif sur \(]-\infty;-8]\) et \([-5;+\infty[\).
✅ Réponse C
SINGE = 5 lettres dont 2 voyelles (I et E).
\[P_M(V)=\frac{2}{5}\]✅ Réponse B
✅ Réponse C
✅ Réponse B
Impossible. L'équation n'admet aucune solution.
✅ Réponse C
✅ Réponse B
R̄₁ (9/10) ──► R₂ : 1/10 / R̄₂ : 9/10
Gain = somme reçue − 1 € (mise).
Deux couleurs différentes → reçoit 0 € → \(X=0-1=\mathbf{-1}\)
Deux vertes → reçoit 1 € → \(X=1-1=\mathbf{0}\)
Deux rouges → reçoit 3 € → \(X=3-1=\mathbf{2}\)
\[X\in\{-1\,;\,0\,;\,2\}\]\(X=-1\) quand les deux boules sont de couleurs différentes : \((R_1\cap\bar R_2)\cup(\bar R_1\cap R_2)\). Ces événements sont incompatibles :
\[P(X=-1)=P(R_1)P_{R_1}(\bar R_2)+P(\bar R_1)P_{\bar R_1}(R_2)=\frac{1}{10}\times\frac{9}{10}+\frac{9}{10}\times\frac{1}{10}=\frac{9}{100}+\frac{9}{100}=\boxed{\frac{18}{100}}\]| \(k\) | \(-1\) | \(0\) | \(2\) |
| \(P(X=k)\) | \(\dfrac{18}{100}\) | \(\dfrac{81}{100}\) | \(\dfrac{1}{100}\) |
Vérification : \(\frac{18+81+1}{100}=1\) ✓
En moyenne, un joueur perd 0,16 € par partie. Le jeu est légèrement défavorable au joueur.
Urne : \(n\) rouges, \(10-n\) vertes. Tirages avec remise.
\[P(Y=-1)=\frac{n}{10}\cdot\frac{10-n}{10}+\frac{10-n}{10}\cdot\frac{n}{10}=\frac{2n(10-n)}{100}\] \[P(Y=0)=\frac{(10-n)^2}{100}\qquad P(Y=2)=\frac{n^2}{100}\] \[E(Y)=(-1)\cdot\frac{2n(10-n)}{100}+0+2\cdot\frac{n^2}{100}=\frac{-20n+2n^2+2n^2}{100}=\boxed{\frac{4n^2-20n}{100}}\]Jeu équitable \(\Leftrightarrow E(Y)=0\) :
\[\frac{4n^2-20n}{100}=0\;\Leftrightarrow\;4n(n-5)=0\;\Leftrightarrow\;n=0\text{ ou }n=5\]Le jeu est équitable s'il y a 0 ou 5 boules rouges. En pratique, avec 5 rouges et 5 vertes, l'espérance de gain est nulle.
Par lecture graphique : à \(x=11\), \(f(11)=\boxed{6\text{ kW}}\).
Par lecture graphique, la courbe est au-dessus de \(y=5\) sur l'intervalle \(\boxed{[10{,}5\,;\,15{,}5]}\).
Interprétation : la puissance des panneaux solaires est supérieure ou égale à 5 kW entre 10h30 et 15h30.
Le tarif augmente de 6 % par an : \(c_{n+1}=c_n\times1{,}06\).
\((c_n)\) est une suite géométrique de raison \(q=1{,}06\) et de premier terme \(c_0=0{,}15\).
2030 correspond à \(n=10\) (années depuis 2020).
\[c_{10}=0{,}15\times1{,}06^{10}\text{ euros}\]c = 0.15
S = 0
while S < 7000:
S = S + c * 2000
n = n + 1
c = 1.06 * c
print(n)
a. c représente le coût en euros pour 1 kWh consommé l'année \(n\). S représente le montant total
économisé depuis l'installation (en €).
b. Le programme affiche 16 : il faut 16 ans à Camille pour économiser au moins 7 000 € et ainsi rentabiliser son installation. Elle récupère sa mise en janvier 2036.
On pose \(u=4x-4\) et \(v=e^{-0{,}5x}\), donc \(u'=4\) et \(v'=-0{,}5e^{-0{,}5x}\).
\[f'(x)=u'v+uv'=4e^{-0{,}5x}+(4x-4)\times(-0{,}5)e^{-0{,}5x}=\left[4-0{,}5(4x-4)\right]e^{-0{,}5x}\] \[=\left[4-2x+2\right]e^{-0{,}5x}=\boxed{(-2x+6)e^{-0{,}5x}}\]\(e^{-0{,}5x}>0\) pour tout \(x\). Le signe de \(f'(x)\) dépend donc uniquement de \(-2x+6\) :
\[-2x+6>0\;\Leftrightarrow\;x<3\qquad;\qquad-2x+6=0\;\Leftrightarrow\;x=3\]| \(x\) | \(-\infty\) | \(3\) | \(+\infty\) | ||
| \(f'(x)\) | + | 0 | − | ||
| \(f\) | \(-\infty\) | ↗ | max | ↘ | \(-\infty\) |
\(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty;3]\) et strictement décroissante sur \([3;+\infty[\).
Tangente horizontale \(\Leftrightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow x=3\) (unique).
\[f(3)=(4\times3-4)e^{-1{,}5}+5=8e^{-1{,}5}+5\]L'unique point est \(\boxed{\left(3\,;\,8e^{-1{,}5}+5\right)}\approx(3\,;\,6{,}79)\).
✅ Réponse b
✅ Réponse c
✅ Réponse a
Ordonnée à l'origine = 1, coefficient directeur = \(\frac{1}{3}\) → exclure la réponse a (ord. nulle). Se déplacer de 3 à droite = monter de 1. ✅ Réponse c
✅ Réponse b
✅ Réponse c
8+7 = 15 élèves ≤ 16 ans → 10 élèves de plus de 16 ans. Parmi eux, 4 ne font pas spé maths → 6 la font.
\[P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\]✅ Réponse d
✅ Réponse d
Deux ans après sa plantation, le mûrier mesure 1,8 m.
\(u_{n+1}=u_n+0{,}4\) → suite arithmétique de raison \(r=0{,}4\) et de premier terme \(u_0=1\).
Le mûrier atteint 9 mètres au bout de 20 ans.
Suite géométrique de raison \(q=2\) et de premier terme \(v_0=2\).
\[v_n=2\times2^n=2^{n+1}\]Le programme calcule la somme \(N=\sum_{k=0}^{10}v_k\) = nombre total de branches 10 ans après la plantation.
\[N=\sum_{k=0}^{10}2^{k+1}=2\times\frac{2^{11}-1}{2-1}=2\times2047=4094\]Dix ans après la plantation, l'arbre possède au total 4 094 branches.
a.
\[\vec{AB}\begin{pmatrix}3-(-1)\\5-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\qquad\vec{AC}\begin{pmatrix}4-(-1)\\0-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix}\]b. Produit scalaire :
\[\vec{AB}\cdot\vec{AC}=4\times5+0\times(-5)=20+0=\boxed{20}\]a.
\[AC=\sqrt{5^2+(-5)^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\]b. \(AB=\sqrt{4^2+0^2}=4\). On utilise \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC})\) :
\[20=4\times5\sqrt{2}\times\cos(\widehat{BAC})=20\sqrt{2}\cos(\widehat{BAC})\;\Rightarrow\;\cos(\widehat{BAC})=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]c.
\[\widehat{BAC}=\frac{\pi}{4}\;\;(=45°)\]a. \(A(1;20)\in\mathcal{C}_f\) donc \(\boxed{f(1)=20}\).
b. La tangente en A passe par \(B(3;10)\) :
\[f'(1)=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{10-20}{3-1}=\frac{-10}{2}=\boxed{-5}\]c. Équation de \(T_A\) : \(y=-5x+b\). \(A(1;20)\) : \(20=-5+b\Rightarrow b=25\). Donc \(T_A:y=-5x+25\). Vérification : \(-5\times3+25=10=y_B\) ✓
a. Quotient \(f(x)=\dfrac{4x^2+7x+9}{x}\), numérateur \(u=4x^2+7x+9\), dénominateur \(v=x\) :
\[f'(x)=\frac{(8x+7)\cdot x-(4x^2+7x+9)\cdot1}{x^2}=\frac{8x^2+7x-4x^2-7x-9}{x^2}=\frac{4x^2-9}{x^2}=\frac{(2x-3)(2x+3)}{x^2}\]b. Sur \(]0;+\infty[\) : \(x^2>0\) et \(2x+3>0\) toujours. Signe de \(f'(x)\) = signe de \(2x-3\) :
\(f'(x)<0\) sur \(\left]0;\frac{3}{2}\right[\), \(f'\!\left(\frac{3}{2}\right)=0\), \(f'(x)>0\) sur \(\left]\frac{3}{2};+\infty\right[\).
c. \(f\) est décroissante sur \(\left]0;\frac{3}{2}\right]\) et croissante sur \(\left[\frac{3}{2};+\infty\right[\) → minimum en \(x=\frac{3}{2}\).
On cherche \(f'(x)=3\) :
\[\frac{4x^2-9}{x^2}=3\;\Rightarrow\;4x^2-9=3x^2\;\Rightarrow\;x^2=9\;\Rightarrow\;x=3\;(\text{car }x>0)\]La tangente en \(x=3\) est parallèle à \(y=3x+5\). Le point est \(\left(3\,;\,f(3)\right)=\left(3\,;\,\dfrac{36+21+9}{3}\right)=\boxed{(3\,;\,22)}\).