uₙ Suites — limites & raisonnement par récurrence ▼

lim Limites de fonctions & continuité ▼

f'' Dérivation avancée — composée & convexité ▼

eˣ ln Fonctions exponentielle & logarithme népérien ▼

cos Fonctions trigonométriques ▼

∫ Primitives & calcul intégral ▼

y' Équations différentielles ▼

Cₙᵏ Combinatoire & dénombrement ▼

ℝ³ Géométrie dans l'espace — vecteurs, droites & plans ▼

ℬ Loi binomiale ℬ(n, p) ▼

BT Concentration — Bienaymé-Tchébychev & Loi des grands nombres ▼

py Python — algorithmes typiques au bac ▼

\((E,C,F)\) est une partition de l'univers, donc :

\[P(E)+P(C)+P(F)=1 \;\Leftrightarrow\; 0{,}25+P(C)+0{,}15=1 \;\Leftrightarrow\; \boxed{P(C)=0{,}60}\]

Pour la branche F : \(P(F\cap H)=P(F)\times P_F(H) \Leftrightarrow 0{,}12=0{,}15\times P_F(H) \Leftrightarrow \boxed{P_F(H)=0{,}80}\)

\[P(E\cap H)=P(E)\times P_E(H)=0{,}25\times 0{,}45=\boxed{0{,}1125}\]

\((E,C,F)\) partition de l'univers → formule des probabilités totales :

\[P(H)=P(E\cap H)+P(C\cap H)+P(F\cap H)=0{,}1125+0{,}6\times0{,}30+0{,}12=0{,}2325+0{,}18=\boxed{0{,}4125}\]

La probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est 0,4125.

\[P_H(E)=\frac{P(E\cap H)}{P(H)}=\frac{0{,}1125}{0{,}4125}\approx\boxed{0{,}273}\]

La probabilité qu'un abonné ait choisi l'abonnement « étudiant » sachant qu'il a activé l'option est environ 0,273.

On répète 8 fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p=0{,}4125\).

\[X \sim \mathcal{B}(8\,;\,0{,}4125)\]

\[P(X=0)=(1-0{,}4125)^8=0{,}5875^8\approx\boxed{0{,}014}\]

La probabilité qu'aucun des 8 abonnés n'ait activé l'option est environ 0,014.

a. \(Z\sim\mathcal{B}(n\,;\,0{,}4125)\)

\[q_n=P(Z\geq1)=1-P(Z=0)=1-(1-0{,}4125)^n=1-0{,}5875^n\]

b. On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(q_n\geq0{,}999\) :

\[1-0{,}5875^n\geq0{,}999 \;\Leftrightarrow\; 0{,}5875^n\leq0{,}001 \;\Leftrightarrow\; n\ln(0{,}5875)\leq\ln(0{,}001)\]

Comme \(\ln(0{,}5875)<0\), on divise en changeant le sens :

\[n\geq\frac{\ln(0{,}001)}{\ln(0{,}5875)}\approx12{,}987\]

Le plus petit entier est donc \(\boxed{n=13}\).

Les abonnements coûtent 5 €, 10 € ou 16 € sans l'option, et +2 € avec l'option.

\[Y\in\{5,\;7,\;10,\;12,\;16,\;18\}\]

\(P(Y=5)=P(E\cap\bar H)=0{,}25\times0{,}55=0{,}1375\)  ·  \(P(Y=7)=P(E\cap H)=0{,}1125\)

\(P(Y=10)=P(C\cap\bar H)=0{,}6\times0{,}7=0{,}42\)  ·  \(P(Y=12)=P(C\cap H)=0{,}6\times0{,}3=0{,}18\)

\(P(Y=16)=P(F\cap\bar H)=0{,}15\times0{,}2=0{,}03\)  ·  \(P(Y=18)=P(F\cap H)=0{,}12\)

\[E(Y)=5\times0{,}1375+7\times0{,}1125+10\times0{,}42+12\times0{,}18+16\times0{,}03+18\times0{,}12\] \[=0{,}6875+0{,}7875+4{,}2+2{,}16+0{,}48+2{,}16=\boxed{10{,}475\text{ €}}\]

En moyenne, un client dépense 10,475 € sur cette plateforme.

La calculatrice donne \(\boxed{V(Y)\approx13{,}70}\).

a. L'écart-type de \(Z\) est 2, donc \(V(Z)=4\).

b. \(E(Z)=9\). On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

\[P(6<3)=1-P(|Z-E(Z)|\geq3)\geq1-\frac{V(Z)}{3^2}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}\approx0{,}556\]

Or \(\dfrac{5}{9}\approx0{,}556>0{,}5\). ✅ L'affirmation est exacte.

\[u_1=h(u_0)=4-\frac{4}{4}=4-1=\boxed{3}\]

Au 1er janvier 2026 il y avait 3 000 perches-soleil dans l'étang selon ce modèle.

\(h\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) en tant que somme de fonctions dérivables. Pour tout \(x>0\) :

\[h'(x)=\frac{4}{x^2}>0\]

Donc \(h\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).

On pose \(\mathcal{P}(n) : 2\leq u_{n+1}\leq u_n\leq4\).

Initialisation : \(u_0=4\), \(u_1=3\), donc \(2\leq3\leq4\leq4\). \(\mathcal{P}(1)\) est vraie. ✓

Hérédité : Soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie : \(2\leq u_{n+1}\leq u_n\leq4\).

Par croissance de \(h\) :

\[h(2)\leq h(u_{n+1})\leq h(u_n)\leq h(4)\;\Rightarrow\;2\leq u_{n+2}\leq u_{n+1}\leq3\leq4\]

Donc \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie. ✓

Conclusion : Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(2\leq u_{n+1}\leq u_n\leq4\).

D'après la question précédente, \((u_n)\) est décroissante (car \(u_{n+1}\leq u_n\)) et minorée par 2.

D'après le théorème de la limite monotone, la suite \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\geq2\).

\(h\) est continue sur \(]0;+\infty[\). Par passage à la limite dans \(u_{n+1}=h(u_n)\), \(\ell\) est point fixe de \(h\) :

\[\ell=4-\frac{4}{\ell}\;\Leftrightarrow\;\ell^2-4\ell+4=0\;\Leftrightarrow\;(\ell-2)^2=0\;\Leftrightarrow\;\boxed{\ell=2}\]

La limite est \(\ell=2\), soit 2 000 perches-soleil. Le modèle discret ne prévoit pas l'élimination de l'espèce.

a. Script complété :

b. Les premières valeurs : \(u_0=4\), \(u_1=3\), \(u_2\approx2{,}67\), …, \(u_9=2{,}2\), \(u_{10}\approx2{,}18\).

population(2.2) renvoie 10. Cela signifie qu'il faut 10 ans pour que la population passe sous 2 200 poissons, soit au 1er janvier 2035.

Équation différentielle linéaire du 1er ordre : \(y'=-y+2\).

Solution générale : \(y(t)=\lambda e^{-t}+2\), \(\lambda\in\mathbb{R}\).

\(p(0)=\lambda e^0+2=\lambda+2=4\Rightarrow\lambda=2\).

\[\boxed{p(t)=2e^{-t}+2}\]

\[\lim_{t\to+\infty}p(t)=\lim_{t\to+\infty}(2e^{-t}+2)=0+2=\boxed{2}\]

Sur le long terme, la population tend vers 2 000 poissons. L'espèce ne disparaît pas non plus selon le modèle continu (même conclusion que le modèle discret).

A est le symétrique de C par rapport à O : \(\vec{OA}=-\vec{OC}\), donc \(\boxed{A(-1;-1;0)}\).

D est le symétrique de B par rapport à O : \(\vec{OD}=-\vec{OB}\), donc \(\boxed{D(1;-1;0)}\).

\(S(0;0;2)\), \(C(1;1;0)\), \(B(-1;1;0)\) → \(\vec{SC}\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\), \(\vec{SB}\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}\)

\[\vec{SC}\cdot\vec{SB}=(1)(-1)+(1)(1)+(-2)(-2)=-1+1+4=\boxed{4}\]

\[SC=SB=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}\] \[\vec{SC}\cdot\vec{SB}=SC\times SB\times\cos(\widehat{BSC})\;\Rightarrow\;4=6\cos(\widehat{BSC})\;\Rightarrow\;\cos(\widehat{BSC})=\frac{2}{3}\] \[\boxed{\widehat{BSC}\approx48{,}2°}\]

\(\vec{SC}\cdot\vec{n}=0\times0+2\times1+1\times(-2)=2-2=0\) ✓

\(\vec{SB}\cdot\vec{n}=0\times0+2\times1+1\times(-2)=0\) ✓

\(\vec{SC}\) et \(\vec{SB}\) non colinéaires (rapports non égaux). Donc \(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan → \(\vec{n}\) est normal au plan \((SBC)\).

Forme \(2y+z+d=0\). \(S(0;0;2)\in(SBC)\) : \(2\times0+2+d=0\Rightarrow d=-2\).

\[\boxed{(SBC):2y+z-2=0}\]

a. La droite \((OH)\perp(SBC)\) passe par \(O(0;0;0)\) de vecteur directeur \(\vec{n}(0;2;1)\) :

\[\begin{cases}x=0\\y=2t\\z=t\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}\]

b. H est l'intersection avec le plan \(2y+z-2=0\) :

\[2(2t)+t-2=0\;\Rightarrow\;5t=2\;\Rightarrow\;t=\frac{2}{5}\] \[\boxed{H\!\left(0\,;\,\frac{4}{5}\,;\,\frac{2}{5}\right)}\]

c.

\[OH=\sqrt{0+\left(\frac{4}{5}\right)^2+\left(\frac{2}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{16+4}{25}}=\sqrt{\frac{20}{25}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\text{ cm}\] \[\boxed{d(O,(SBC))=\frac{2\sqrt{5}}{5}\approx0{,}894\text{ cm}}\]

C1a. \(BC=2\) cm, base carrée d'aire \(4\text{ cm}^2\), \(OS=2\) cm.

\[V_{SABCD}=\frac{1}{3}\times4\times2=\frac{8}{3}\text{ cm}^3\]

C1b. Les 4 triangles \(OAB,OBC,OCD,ODA\) ont même aire (\(\frac{1}{4}\) du carré). Donc :

\[V_{OCBS}=\frac{1}{4}\times\frac{8}{3}=\frac{2}{3}\text{ cm}^3\]

C2. \(SBC\) isocèle en S, \(J(0;1;0)\) milieu de \(BC\).

\[SJ=\sqrt{0+1+4}=\sqrt{5}\;\Rightarrow\;\mathcal{A}_{SBC}=\frac{SJ\times BC}{2}=\frac{\sqrt{5}\times2}{2}=\sqrt{5}\text{ cm}^2\]

C3. On note \(h\) la distance de O au plan \((SBC)\) :

\[V_{OCBS}=\frac{1}{3}\times\mathcal{A}_{SBC}\times h\;\Rightarrow\;\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{5}}{3}h\;\Rightarrow\;h=\frac{2}{\sqrt{5}}=\boxed{\frac{2\sqrt{5}}{5}\text{ cm}}\]

✅ Même résultat que par la méthode du projeté orthogonal.

D'après la courbe, \(f\) semble convexe sur \(]-\infty;1]\) et concave sur \([1;+\infty[\). Le point d'inflexion est en \(x=1\).

\(\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)=+\infty\) et \(\lim_{t\to+\infty}\ln t=+\infty\), donc \(\lim_{x\to-\infty}5\ln(x^2+1)=+\infty\).

De plus \(\lim_{x\to-\infty}(-3x)=+\infty\).

\[\lim_{x\to-\infty}f(x)=\boxed{+\infty}\]

a. Pour \(x>0\) :

\[f(x)=5\ln\!\left(x^2\!\left(1+\tfrac{1}{x^2}\right)\right)-3x=10\ln x+5\ln\!\left(1+\tfrac{1}{x^2}\right)-3x=x\!\left(10\tfrac{\ln x}{x}-3\right)+5\ln\!\left(1+\tfrac{1}{x^2}\right)\]

b. Par croissances comparées \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\), donc \(\lim_{x\to+\infty}\left(10\dfrac{\ln x}{x}-3\right)=-3\) et \(\lim_{x\to+\infty}x\left(\cdots\right)=-\infty\). Et \(\lim_{x\to+\infty}5\ln(1+\tfrac{1}{x^2})=0\).

\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=\boxed{-\infty}\]

\[f'(x)=5\times\frac{2x}{x^2+1}-3=\frac{10x-3(x^2+1)}{x^2+1}=\boxed{\frac{-3x^2+10x-3}{x^2+1}}\]

Signe du numérateur \(-3x^2+10x-3\) : \(\Delta=100-36=64\).

\[x_1=\frac{10-8}{6}=\frac{1}{3}\qquad x_2=\frac{10+8}{6}=3\]

Le trinôme est positif sur \(\left[\dfrac{1}{3};3\right]\) (coefficient de \(x^2\) négatif).

\(f\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=5\ln\!\left(\tfrac{10}{9}\right)-1\approx-0{,}47\) (minimum local)  ·  \(f(3)=5\ln10-9\approx2{,}51\) (maximum local)

On calcule \(f''(x)\) à partir de \(f'(x)=\dfrac{-3x^2+10x-3}{x^2+1}\) :

\[f''(x)=\frac{(-6x+10)(x^2+1)-(-3x^2+10x-3)(2x)}{(x^2+1)^2}=\frac{-6x^3+10x^2-6x+10+6x^3-20x^2+6x}{(x^2+1)^2}=\frac{-10x^2+10}{(x^2+1)^2}\] \[f''(x)=\frac{-10(x^2-1)}{(x^2+1)^2}\]

\(f''(1)=0\) et \(f''\) change de signe en \(x=1\) : \(f''>0\) sur \(]-1;1[\), \(f''<0\) sur \(]1;+\infty[\).

✅ \(x=1\) est bien un point d'inflexion. Confirme la lecture graphique de Q1.

On complète par complémentarité : \(P_A(\bar C)=0{,}05\), \(P_B(\bar C)\) sera calculé à la question suivante.

\[P(A\cap C)=P(A)\times P_A(C)=0{,}6\times0{,}95=\boxed{0{,}57}\]

\((A,B)\) est une partition de l'univers :

\[P(C)=P(A\cap C)+P(B\cap C)\;\Leftrightarrow\;0{,}91=0{,}57+0{,}4\times P_B(C)\;\Leftrightarrow\;P_B(C)=\frac{0{,}34}{0{,}4}=\boxed{0{,}85}\]

\[P_{\bar C}(A)=\frac{P(A)\times P_A(\bar C)}{1-P(C)}=\frac{0{,}6\times0{,}05}{0{,}09}=\frac{0{,}03}{0{,}09}=\boxed{\frac{1}{3}}\] \[P_{\bar C}(B)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}=2\times P_{\bar C}(A)\]

✅ Le responsable a raison : \(P_{\bar C}(B)=2\,P_{\bar C}(A)\).

a. \(X\sim\mathcal{B}(15\,;\,0{,}09)\) (proportion de tomates non commercialisables = \(1-0{,}91=0{,}09\)).

b.

\[P(X=2)=\binom{15}{2}(0{,}09)^2\times(0{,}91)^{13}\approx\boxed{0{,}250}\]

c.

\[P(X\leq2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=(0{,}91)^{15}+15\times0{,}09\times(0{,}91)^{14}+\binom{15}{2}(0{,}09)^2(0{,}91)^{13}\approx\boxed{0{,}853}\]

a. \(X_n\sim\mathcal{B}(n;0{,}09)\), donc \(E(X_n)=0{,}09n\) et \(V(X_n)=0{,}09\times0{,}91\times n\).

\[E(F_n)=\frac{1}{n}E(X_n)=\boxed{0{,}09}\qquad V(F_n)=\frac{1}{n^2}V(X_n)=\frac{0{,}0819}{n}\]

b. On applique Bienaymé-Tchebychev à \(F_n\) :

\[P(0{,}04<0{,}05)\geq1-\frac{V(F_n)}{(0{,}05)^2}=1-\frac{0{,}0819}{0{,}0025n}=1-\frac{32{,}76}{n}\]

c. Pour \(n=500\) :

\[P(0{,}04<0{,}14)\geq1-\frac{32{,}76}{500}=0{,}93448\]

La fréquence observée est \(\dfrac{55}{500}=0{,}11\) et \(0{,}04<0{,}11<0{,}14\). ✅ Le résultat est conforme aux attentes.

\[\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}=x\;\Leftrightarrow\;x\!\left(\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}-1\right)=0\;\Leftrightarrow\;x=0\text{ ou }\sqrt{1+x^2}=2\;\Leftrightarrow\;x=0\text{ ou }x^2=3\] \[\boxed{\mathcal{S}=\{-\sqrt{3}\,;\,0\,;\,\sqrt{3}\}}\]

\[f'(x)=\frac{2\sqrt{1+x^2}-2x\cdot\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}=\frac{2(1+x^2)-2x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}=\boxed{\frac{2}{(1+x^2)^{3/2}}}\]

Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \((1+x^2)^{3/2}>0\), donc \(f'(x)=\dfrac{2}{(1+x^2)^{3/2}}>0\).

\(f\) est donc strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

On pose \(\mathcal{P}(n):1\leq u_n\leq u_{n+1}<\sqrt{3}\).

Initialisation : \(u_0=1\), \(u_1=f(1)=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\). Et \(1\leq\sqrt{2}<\sqrt{3}\). ✓

Hérédité : Si \(1\leq u_n\leq u_{n+1}<\sqrt{3}\), par croissance de \(f\) :

\[f(1)\leq f(u_n)\leq f(u_{n+1})<\sqrt{3}\]

Comme \(1\leq\sqrt{2}\), \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie. ✓

\((u_n)\) est croissante et majorée par \(\sqrt{3}\) → convergente vers \(\ell\).

Par continuité de \(f\) : \(\ell=f(\ell)\), donc \(\ell\in\{-\sqrt{3};0;\sqrt{3}\}\). Comme \(u_n\geq1>0\), seul \(\ell=\sqrt{3}\) convient.

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=\sqrt{3}}\]

a.

\[v_{n+1}=\frac{u_{n+1}^2}{3-u_{n+1}^2}=\frac{\frac{4u_n^2}{1+u_n^2}}{3-\frac{4u_n^2}{1+u_n^2}}=\frac{4u_n^2}{3(1+u_n^2)-4u_n^2}=\frac{4u_n^2}{3-u_n^2}=4v_n\]

La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(r=4\). \(v_0=\dfrac{1}{3-1}=\dfrac{1}{2}\) donc \(v_n=\dfrac{4^n}{2}\).

b. En exprimant \(u_n\) à partir de \(v_n\) :

\[v_n=\frac{u_n^2}{3-u_n^2}\;\Rightarrow\;u_n^2=\frac{3v_n}{1+v_n}\;\Rightarrow\;\boxed{u_n=\sqrt{\frac{1{,}5\times4^n}{1+0{,}5\times4^n}}}\]

c. En factorisant par \(4^n\) :

\[u_n=\sqrt{\frac{1{,}5}{4^{-n}+0{,}5}}\;\xrightarrow[n\to+\infty]{}\;\sqrt{\frac{1{,}5}{0{,}5}}=\sqrt{3}\;\checkmark\]

C1. Script :

C2. D'après B1, \(1\leq u_k<\sqrt{3}\), donc \(1\leq u_k^2<3\) et :

\[\sum_{k=0}^{n-1}1\leq S_n<\sum_{k=0}^{n-1}3\;\Rightarrow\;\boxed{n\leq S_n<3n}\]

C3. Par comparaison (\(S_n\geq n\to+\infty\)) : \(\lim_{n\to+\infty}S_n=+\infty\).

D'après l'encadrement : \(\dfrac{1}{n}\leq\dfrac{S_n}{n^2}\leq\dfrac{3}{n}\). Par les gendarmes :

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{S_n}{n^2}=0}\]

Pour \(t=0\) : \((x,y,z)=(1,1,1)\) = C. ✅ C appartient à \(\Delta\).

Pour A(4;2;2) : \(1+2t=4\Rightarrow t=3/2\) ; \(1+t=2\Rightarrow t=1\). Incompatible. ❌ A n'appartient pas à \(\Delta\).

a. Vecteur directeur de \(\Delta\) : \(\vec{u}(2;1;2)\). \(\mathcal{P}\perp\Delta\), donc \(\vec{u}\) est normal à \(\mathcal{P}\) : \(2x+y+2z+d=0\).

\(A(4;2;2)\in\mathcal{P}\) : \(8+2+4+d=0\Rightarrow d=-14\).

\[\boxed{\mathcal{P}:2x+y+2z-14=0}\]

b. \(B(5;-2;3)\) : \(10-2+6-14=0\) ✅  ·  \(C(1;1;1)\) : \(2+1+2-14=-9\neq0\) ❌

a. \(D=C+t\vec{u}=(1+2t;1+t;1+2t)\). Dans \(\mathcal{P}\) : \(2(1+2t)+(1+t)+2(1+2t)-14=0\Rightarrow9t-9=0\Rightarrow t=1\).

\[\boxed{D(3;2;3)}\]

b. \(\vec{AB}(1;-4;1)\), \(\vec{AD}(-1;0;1)\) : \(\dfrac{1}{-1}\neq\dfrac{-4}{0}\) → non colinéaires, donc A,B,D définissent \(\mathcal{P}\). Comme C∉\(\mathcal{P}\), les 4 points sont non coplanaires.

c. \(\vec{AB}\cdot\vec{AD}=(1)(-1)+(-4)(0)+(1)(1)=0\) → triangle ABD rectangle en A.

d. \(AB=\sqrt{1+16+1}=\sqrt{18}\), \(AD=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}\).

\[\mathcal{A}_{ABD}=\frac{AB\times AD}{2}=\frac{\sqrt{18}\times\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{36}}{2}=3\text{ u.a.}\] \[CD=\sqrt{4+1+4}=3\;\Rightarrow\;V_{ABCD}=\frac{1}{3}\times3\times3=\boxed{3\text{ u.v.}}\]

Q4a. On vérifie que \(H\!\left(\tfrac{73}{29};-\tfrac{4}{29};\tfrac{51}{29}\right)\) est le projeté de A sur (BC) :

\(\vec{AH}\cdot\vec{BC}=0\) ✓ et \(\vec{BE}\) colinéaire à \(\vec{BC}\) ✓ → H est le projeté orthogonal.

Q4b.

\[AH=\frac{3\sqrt{638}}{29},\;BC=\sqrt{29}\;\Rightarrow\;\mathcal{A}_{ABC}=\frac{AH\times BC}{2}=\frac{3\sqrt{22}}{2}\text{ u.a.}\]

Q4c. Distance de D au plan (ABC) :

\[V=\frac{1}{3}\times\frac{3\sqrt{22}}{2}\times d=3\;\Rightarrow\;d=\frac{6}{\sqrt{22}}=\boxed{\frac{3\sqrt{22}}{11}\text{ u.l.}}\]