Suites et récurrence
Donner l'expression de récurrence et explicite d'une suite arithmétique et géométrique
Réponse:
Pour une suite arithmétique:
Expression de récurrence: un+1=un+r
Expression explicite:=un=up+(n-p)r (si p=0, on a:=un=u0+nr)
Pour une suite géométrique:
Expression de récurrence: un+1=un×q
Expression explicite:=un=up×qn-p (si p=0, on a:un=u0×qn)
Quand dit-on qu'une suite est convergente?
Réponse:
Une suite est dite convergente si elle tend vers un nombre fini, qu'on appelle limite
On note:
Sinon on dit que la suite est divergente
Quand dit-on qu'une suite est bornée?
Réponse:
Une suite est dite bornée si elle est à la fois minorée et majorée
Une suite (un) est minorée par un réel m si pour tout entier naturel n on a:
Une suite (un) est majorée par un réel M si pour tout entier naturel n on a:
Pour une suite du type un=f(n), on sait, après avoir étudié les variations de la fonction f, que la fonction f est croissante sur l'intervalle I=[n0;+∞[.
Que peut-on dire de la monotonie de la suite (un)?
Réponse:
Comme f est croissante, alors la suite (un) est croissante.
(De même, on aurait: si f était décroissante, alors la suite (un) serait décroissante)
Comment montrer la monotonie d'une suite?
Réponse:
On calcule: un+1-un pour tout n∈ℕ
1)un+1>un: la suite est strictement croissante
2)un+1<un: la suite est strictement décroissante
3)un+1=un: la suite est constante
Comment trouver la limite de qn?
Réponse:
1) si q>1; alors on a:
Que peut-on dire d'une suite croissante et minorée?
Réponse:
Attention piège: on ne peut rien affirmer
Une suite croissante et majorée par un réel M converge vers un réel L tel que: L≤M
Une suite décroissante et minorée par un réel m converge vers un réel L tel que: m≤L
A quoi sert une démonstration par récurrence?
Réponse:
Une démonstration par récurrence sert à démontrer qu'une propriété est vérifiée pour tout entier naturel n, tel que n≥n0.
Il est nécessaire de bien identifier la propriété que l'on souhaite démontrer.
Cette démonstration se réalise en trois étapes obligatoires:
1) Initialisation;
2) Hérédité;
3) Conclusion.
Limites de fonctions
A quoi sert le calcul des limites?
Réponse:
C'est étudier le comportement d'une fonction:
1) Le calcul d'une limite d'une fonction f permet de savoir "vers quoi se rapproche f(x) quand x se rapproche d'une borne ouverte de l'ensemble de définition";
2) Le calcul d'une limite d'une fonction f permet d'étudier son comportement asymptotique (asymptotes horizontales ou verticales);
3) Le calcul d'une limtie d'une fonction f permet de vérifier la continuité de cette fonction (savoir si f est continue en x=a ou si discontinuité (rupture dans le tracé)
Comment lever une indétermination?
Réponse:
1) Simplifier l'expression:
Exemple:
limx→1(x2-1)/(x-1)=limx→1(x+1)=2, car x2-1=(x-1)(x+1) et F.I forme
"0/0";
2) Factoriser par le monôme de plus haut degré;
Exemple:
limx→+∞(x2+3x)/(x2-1)=limx→+∞(x2(1+3/x))/(x2(1-1/x2))=1, car F.I forme "∞/∞";
3) Si l'expression de la fonction contient une racine carrée on lève l'indétermination en multipliant par le conjugué de l'expression contenant la racine carré au numérateur et au
dénominateur.
limx→0[√(x+1)-1]/x= limx→0[√(x+1)-1]/(x)×[√(x+1)+1]/[√(x+1)+1]= limx→0x/[x×(√(x+1)+1)]=
limx→01/(√(x+1)+1)=1/2
Quand rencontre-t-on une asymptote horizontale?
Réponse:
limx→±∞f(x)=a, a∈ℝ alors la droite d'équation y=a est une asymptote horizontale au voisinage de ±∞.
Cela signifie que la courbe va se rapprocher de la droite sans jamais l'atteindre.
Comment étudier les positions reatives de la courbe de la fonction f et des asymptotes horizontales?
Réponse:
Soit Cf la courbe représentative de la fonction f et Δ la droite d'équation y=a.
Etudier la postion relative de la courbe f par rapport à Δ revient à étudier le signe de la différence: f(x)-y
1) Si f(x)-y>0 sur un intervalle I, alors la courbe Cf est au-dessus de Δ sur I.
2) Si f(x)-y<0 sur un intervalle I, alors la courbe Cf est en-dessous de Δ sur I.
3) Si f(x)-y=0 sur un intervalle I, alors la courbe Cf coupe Δ sur I.
Qu'est ce qu'une forme indéterminée?
Réponse:
C'est une situation où la limite ne peut être déduite directement.
Exemples: 0/0; ∞/∞; 0x∞; ∞-∞
Comment lever une indétermination avec les fonctions trigonométriques?
Réponse:
Les fonctions cos(x) et sin(x) ont une propriété fondamentale qui est:
-1≤ sin(x) ≤1 et -1≤ cos(x) ≤1 et on utilise les théorème de comparaison ou d'encadrement (= des gendarmes).
Exemple:
limx→+∞(2x+cos(x))=?
On a:
Comme limx→+∞(2x-1)=+∞, on peut conclure, grâce au théorème de comparaison, que: limx→+∞(2x+cos(x))=+∞.
Quand rencontre-t-on une asymptote verticale?
Réponse:
limx→x0;f(x)=±∞, alors la droite d'équation x=x0 est une asymptote verticale.
Cela signifie que la courbe va se rapprocher de la droite sans jamais l'atteindre.
On considère trois fonctions f, g et h définies sur un intervalle I telle que:
Pour tout x∈I, on a: f(x)≤g(x)≤h(x) avec:
limx→x0;f(x)=l et limx→x0;h(x)=l
Quelle conclusion peut-on déduire de ces informations?
Réponse:
On peut conclure, grâce au théorème des gendarmes (= th d'encadrement), que:
limx→x0;g(x)=l.
Continuité
Qu'est ce qu'une fonction f continue en une valeur a?
Réponse:
Une fonction f est continue en a si on a:
limx→af(x)=f(a)
Quelle est l'utilité du théorème des valeurs intermédiaires (TVI)?
Réponse:
Si f est continue sur un intervalle I=[a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un nombre α∈[a;b] tel que: f(α)=k
⚠ ce théorème permet de connaître le nombre de solutions, s'il y en a, mais ne permet pas de connaître leurs valeurs
Que permet de prouver le corollaire du TVI?
Réponse:
Ce corollaire permet de justifier l'existence d'une unique solution sur un intervalle à l'équation f(x)=k, équation que l'on ne peut résoudre directement par le calcul.
On utilise la calculatrice pour trouver une valeur approchée de la solution de l'équation f(x)=k (on utilise la méthode de dichotomie pour la trover).
Donner un exemple de fonction continue sur ℝ
Réponse:
Toutes less fonctions dérivables sur ℝ sont continues sur ℝ
⚠ la réciproque est fausse.
Exemple: Les fonctions polynomiales
Pour utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, quelles conditions doit-on respecter?
Réponse:
Trois conditions sont à respecter:
1) La fonction f est continue sur l'intervalle I=[a;b];
2) La fonction f est strictement monotone (strictement croissante ou strictment décroissante) sur I;
3) Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique nombre α∈I, tel que f(α)=k.
Comment trouver toutes les solutions de l'équation f(x)=0?
Réponse:
Trois conditions sont à respecter:
1) Donner les variations de cette fonction (tableau de variations avec les valeurs des extrema et limites) ;
2) Utiliser le corollaire du TVI sur chaque intervalle où la fonction f est strictement monotone;
3) Conclusion: donner le nombre de solutions de l'équation f(x)=0
Dérivation et Convexité
Qu'est ce que la dérivée seconde?
Réponse:
La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée première: f"(x)=(f'(x))'
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I.
Quel est le lien entre f" et f' pour la convexité?
Réponse:
A) Les trois propositions sont équivalentes:
1) f est convexe sur I;
2) f' est croissante sur I;
3) f" est positive sur I.
B) Les trois propositions sont équivalentes:
1) f est concave sur I;
2) f' est décroissante sur I;
3) f" est négative sur I.
Comment traduire la notion du lien entre convexité et tangentes à l'aide des inéquations?
Réponse:
A) Si f est convexe
f(x)≥f'(a).(x-a)+f(a).
B) Si f est concave
f(x)≤f'(a).(x-a)+f(a).
Quel est le lien entre convexité et dérivée?
Réponse:
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, soit Cf sa courbe représentative dans un repère.
On dit que:
1) La fonction f est convexe si Cf est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur I;
2) La fonction f est concave si Cf est située en-dessous de chacune de ses tangentes sur I;
Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?
Réponse:
Un point d'inflexion est un point où la courbe de la fonction change de convexité:
elle passe de convexe à concave ou inversement.
On cherche les valeurs pour lesquelles f"(x)=0 avec un changement de signe, cela veut dire que la dérivée première passe alors par un extremum.
Comment établir une inégalité en utilisant la convexité d'une fonction f?
Réponse:
On peut étudier la position relative de sa courbe avec une de ses tangentes.
Exemple: On considère la fonction f deux fois dérivable sur ℝ, f(x)=ex et sa tangente au point d'abscisses a=0 d'équation y=x+1.
On étudie le signe de: h(x)=f(x)-(x+1)=ex-x-1.
h'(x)=ex-1. La fonction est décroissante puis croissante; son minimum est atteint pour x=0 et vaut h(0)=0.
Pour tout x∈ℝ, h(x)≥h(0), donc h(x)≥0.
Ce qui signifie que: ex≥x+1.
Fonctions trigonométriques
Que doit-on calculer quand on doit étudier la parité d'une fonction?
Réponse:
On doit calucler f(-x) et vérifier que:
1) Si f(-x)=f(x) alors la fonction est paire;
2) S f(-x)=-f(x) alors la fonction est impaire;
3) Si f(-x)≠f(x) et f-x)≠-f(x) alors la fonction n'est ni paire ni impaire.
Que doit-on calculer quand on doit étudier la périodicité d'une fonction?
Réponse:
On doit calucler f(x+T), avec T un réel strictement positif et vérifier que:
Soit D le domaine sur lequel la fonction f est définie.
Si pour tout x∈D et x+T∈D, on a: f(x+T)=f(x) alors on dit que:
f est périodique de période T (ou f est T-périodique).
Comment utiliser les notions de parité et de périodicité pour étudier les fonctions "sinus" et "cosinus" sur ℝ?
Réponse:
Ces fonctions sont 2π-périodiques: on va donc choisir un intervalle de longueur 2π:
On choisit l'intervalle [-π;π].
On va utiliser la parité de ces deux fonctions:
La fonction "cosinus" est paire et la fonction "sinus" est impaire.
On peut donc choisir de restreindre l'intervalle [-π;π] à l'intervalle [0;π];
On complétera par une symétrie axiale ou centrale selon la parité sur l'intervalle [-π;0], puis par des translations pour obtenir les courbes sur ℝ.
Quelles relations utilise-t-on pour calculer des limites avec des fonctions trigonométriques?
Réponse:
On utilise les formules suivantes:
-1≤cos(x)≤1 et -1≤sin(x)≤1 et on utilise le théorème d'encadrement (= des gendarmes)
Quelles sont les conséquences graphiques de la parité pour la construction de la courbe représentative d'une fonction?
Réponse:
1) Si la fonction f est paire alors la courbe repésentative de cette fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
2) Si la fonction f est impaire alors la courbe repésentative de cette fonction est symétrique par rapport au centre du repère.
Exemples:
1) f(x)=x2 est paire et sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
2) f(x)=x3 est impaire et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Quelles sont les conséquences graphiques de la périodicité pour la construction de la courbe représentative d'une fonction?
Réponse:
Si la fonction est T-périodique, on peut étudier la fonction sur un intervalle de longueur T et ensuite compléter le graphe par des translations successives.
On répète le graphe à l'identique pour l'obtenir sur l'ensemble du domaine d'étude.
Exemples:
1) f(x)=cos(x) est 2π-périodique, donc on peut l'étudier sur un intervalle de longueur 2π.
2) f(x)=sin(x) est 2π-périodique, donc on peut l'étudier sur un intervalle de longueur 2π.
Comment résoudre une équation trigonométrique de la forme cos(x)=a ou sin(x)=a?
Réponse:
La méthode consiste à trouver une solution particulière x0 en s'aidant du cercle trigonométrique.
Ensuite on utilise les formules suivantes:
1) cos(x)= cos(x0) équivaut à: x=x0+2kπ ou x=-x0+2kπ où k∈ℤ
2) sin(x)= sin(x0) équivaut à: x=x0+2kπ ou x=π-x0+2kπ où k∈ℤ.
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ.
Les fonctions f et g définies sur I par:
f(x)=cos(u(x)) et g(x)=sin(u(x)), f et g sont dérivables sur I et pour tout x de I, quelles sont les fonctions dérivées?
Réponse:
f'(x)=-u'(x).sin(u(x)) et g'(x)=u'(x).cos(u(x))
Logarithme népérien
Quel est le lien entre la fonction "exponentielle" et la fonction "logarithme népérien"?
Réponse:
La fonction "ln" est la fonction réciproque de la fonction "exp", leurs courbes Cln et Cexp sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.
Comment comparer deux logarithmes?
Réponse:
La fonction "ln" est strictement croissante.
Soient x et y deux réels strictemeent positifs tels que x>y équivaut à ln(x)>ln(y) (on conserve l'ordre).
Cas particulier: ln(x)>0 équivaut à x>1 (car ln(1)=0).
De même on a: x=y équivaut à ln(x)=ln(y).
Comment dériver la fonction f(x)=ln(u(x))?
Réponse:
Si I est un intervalle et la fonction u est dérivable dans I avec u(x)>0.
La fonction f est aussi dérivable dans I et on a:
f'(x)=(ln(u(x)))'=u'(x)/u(x)
Comment lever les formes indéterminées en +∞?
Réponse:
On utilise le théorème des croissances comparées:
Quelles sont les propriétés de la fonctions "ln"?
Réponse:
1) La fonction f est définie sur ]0;+∞[.
2) La fonction f est strictement croissante son domaine de définition.
Comment calculer avec des logarithmes népériens?
Réponse:
1) La somme de logarithmes est le logarithme du produit: ln(x)+ln(y)=ln(x.y);
2) La différence de logarithmes est le logarithme du quotient: ln(x)-ln(y)=ln(x/y);
Cas particulier: ln(1/x)=-ln(x).
3 La moitié du logarithme est le logarithme de la racine carré: 1/2.lnx=ln(x1/2)=ln(√x);
Plus généralement, on a: n.ln(x)=ln(xn)
Comment résoudre l'inéquation suivante: ln(u(x))≤ln(v(x))?
Réponse:
1) Vérifier que: u(x)>0 et v(x)>0 et déterminer le domaine de définition;
2) Résoudre l'inéquation: u(x)≤v(x)
3) Sélectionner les solutions incluses dans le domaine de définition.
Comment lever les formes indéterminées en 0?
Réponse:
On utilise le théorème des croissances comparées: