Séance 1: Second degré

1. Un agriculteur veut délimiter une parcelle rectangulaire adossée à une rivière.
Il dispose de 120 m de clôture pour les trois côtés (les berges ne sont pas clôturées).
Exprimer l’aire 𝐴(𝑥) en fonction de la largeur 𝑥(en mètres) perpendiculaire à la rivière.

2. Un agriculteur veut délimiter une parcelle rectangulaire adossée à une rivière.
Il dispose de 120 m de clôture pour les trois côtés (les berges ne sont pas clôturées).
Déterminer la largeur x qui maximise l'aire et calculer cette aire maximale.

3. La hauteur (en mètres) d’un projectile lancé verticalement depuis le sol est modélisée par:
ℎ(𝑡) = −5𝑡² + 20𝑡, où 𝑡 est le temps en secondes.
Déterminer le temps 𝑡_max où la hauteur est maximale et calculer ℎ(𝑡_max).

4. La hauteur (en mètres) d’un projectile lancé verticalement depuis le sol est modélisée par:
ℎ(𝑡) = −5𝑡² + 20𝑡, où 𝑡 est le temps en secondes.
Déterminer à quel instant retombe-t-il au sol?

5. Le coût (en milliers d’euros) pour produire 𝑥 milliers de pièces est donné par:
𝐶(𝑥) = 2𝑥² − 40𝑥 + 300.
Déterminer la quantité 𝑥 minimisant le coût et calculer ce coût.

6. Une entreprise vend 𝑥 milliers d’unités.
Le prix unitaire est constant à 100 € et le coût total (en milliers d’euros) est donné par: 𝐶(𝑥) = 2𝑥² − 40𝑥 + 300.
On note le profit 𝑃(𝑥) = 100𝑥 − 𝐶(𝑥).
Pour quelles valeurs de 𝑥 le profit est-il positif?

7. Un projectile lancé verticalement a pour hauteur ℎ(𝑡) = −5𝑡² + 20t (on exprime t en secondes et hauteur en mètres).
Déterminer le temps pendant lequel le projectile reste au-dessus de 15 m?

8. La distance de freinage 𝑑 (en mètres) d’un véhicule roulant à 𝑣 m/s est 𝑑(𝑣) = 0,02𝑣² + 0,4𝑣.
On veut imposer la condition: 𝑑(𝑣) ≤ 30 m.
Déterminer pour quelles vitesses 𝑣, la condition est vérifiée ?