La fonction f définie sur ℝ par: f(x) = ax2 + bx + c, est appelée foncton polynôme de degré 2 ou trinôme.
Cette fonction admet une écriture unique sous la forme canonique:
Dans le plan muni d'un repère orthogonal, cette fonction est représentée par une parabole de sommet S de coordonnées (α; β).
1) Si a > 0: f est strictement décroissante sur ]-∞;-b/(2a)[ et strictement croissante sur ]-b/(2a); +∞[. Son tableau de variations est donné ci-contre: On dit que f possède un minimum, il est atteint en x = -b/(2a) et est égal à f(-b/(2a)) La courbe est une parabole admettant pour axe de symétrie la droite d'équation: x = -b/(2a). |
1) Si a < 0: f est strictement croissante sur ]-∞;-b/(2a)[ et strictement décroissante sur ]-b/(2a); +∞[. Son tableau de variations est donné ci-contre: On dit que f possède un maximum, il est atteint en x = -b/(2a) et est égal à f(-b/(2a)) La courbe est une parabole admettant pour axe de symétrie la droite d'équation: x = -b/(2a). |
a = -1 < 0: f(x) = -x2 + 2x + 3, sa forme canonique est: Le sommet S a pour coordonnées (1; 4), et la courbe admet comme axe de symétrie la droite d'équation: x = 1. |
Une équation d'une parabole peut être donnée sous trois formes:
1) La forme développée: f(x) = ax2 + bx + c;
2) La forme canonique: f(x) = a(x - α)2 + β;
3) La forme factorisée: f(x) = a(x - x1)(x - x2).
Discriminant: Δ = b2 - 4×a×c | ||
Δ < 0: Pas de solution réelle. |
Δ = 0: Une solution: |
Δ > 0: 2 solutions réelles distinctes: x1 = (-b - √Δ)/(2×a) et x2 = (-b + √Δ)/(2×a) |
Cas 1: 2x2 + x + 1 = 0: Δ = -7 < 0, donc l'équation n'a pas de solution réelle. |
Cas 2: 3x2 + 2x + 1/3 = 0: Δ = 0, donc l'équation admet une unique solution : |
Cas 3: x2 - 2x - 3 = 0: Δ = 16 = 42, donc l'équation admet deux solutions distinctes: x1=(2-√16)/(2×1)=-1 et x2=(2+√16)/(2×1)=3 |
Technique: Factorisation du trinôme | ||
Δ < 0: Pas de factorisation. |
Δ = 0: ax2+bx+c=a(x-x0)2 |
Δ > 0: ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2) |
Technique: Signe du trinôme | ||
Δ < 0: Le trinôme est toujours du signe de a. |
Δ = 0: Le trinôme est toujours du signe de a et il est nul pour x=-b/2a. |
Δ > 0: Le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de -a à l'intérieur des racines. |
Cas 1:
5x2 + 14x - 3 < 0 (E).
Δ = 256 = 162.
Ses racines sont: x1=-3 et x2=1/5.
L'ensemble des solutions de l'inéquation (E) est:
Cas 2:
-3x2 + x - 2 > 0 (E).
Δ= -23 < 0, donc le trinôme est du signe de a = -3 < 0, il est donc négatif.
L'ensemble des solutions de (E) est:
Cas 3:
3x2 - 4x + 4/3 ≤ 0 (E).
Δ= 0, donc la solution est: x0 = 4/6 = 2/3.
Le trinôme est nul pour x = 2/3 et positif pour tout x ≠ 2/3.
L'ensemble des solutions de (E) est:
Pour une fonction f donnée, l’ensemble de tous les nombres réels qui ont une image calculable par cette fonction est appelé ensemble de définition de la fonction f, que l’on notera: Df.
La fonction f(x) = 1/(2x - 4) a pour ensemble de définition ]−∞;2[ ∪ ]2;+∞[.
En effet, 2x − 4 ≠ 0 donc x ≠ 2; le dénominateur étant différent de 0, la valeur interdite pour la fonction f est 2.
Une fonction est un procédé qui à un nombre x appartenant à un ensemble D associe un nombre y.
On note: f:x → y ou encore y = f(x).
On dit que:
y est l’image de x par la fonction f et que x est un antécédent de y par la fonction f.
• Si f(a) = b alors b est l'image de a par la fonction f ou a est un antécédent de b par f.
• On considère une fonction f définie sur ℝ et on donne le tableau suivant:
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L'image de 0 est 2.
5 a pour antécédents -3 et 2.
A retenir:
Pour calculer l'image d'un élèment par une fonction f, on remplace x par sa valeur dans l'expression f(x).
Pour déterminer les antécédents d'un nombre λ par une fonction f, on résout f(x) = λ.
On considère la fonction f définie sur ℝ par: f(x) = x2 - x - 1.
• Trouver l'image de 2 revient à calculer f(2) = 22 - 2 - 1 = 4 - 2 - 1 = 1.
• Trouver l'antécédent de -1 revient à calculer f(x) = -1.
f(x) = x2 - x - 1 = -1 soit x2 - x = x(x - 1) = 0.
Les antécédents de 1 sont 0 et 1.
Dans un repère l’ensemble des points M de coordonnées (x;f(x)) forme la courbe représentative de la fonction f, notée Cf.
On considère un point M de coordonnées (a; b); dire que M ∈ Cf, alors f(a) = b (sinon M n'appartient pas à la courbe).
• Lire l’image d’un nombre : On place ce nombre x0 sur l’axe des abscisses on se déplace verticalement pour rencontrer Cf on lit f(x0) sur l’axe des ordonnées • Lire le (ou les) antécédent(s) d'un nombre : on trace une horizontale passant par cette valeur. A partir des points d’intersection, on se déplace verticalement vers l’axe des abscisses pour lire les antécédents. |
• On dit que la fonction f est croissante sur un intervalle I si pour tous réels réels x1 et x2 de I tels que x1 ≤ x2, alors f(x1) ≤ f(x2).
Autrement dit, les images de x1 et de x2 sont rangées dans le même ordre que x1 et x2.
• On dit que la fonction f est décroissante sur un intervalle I si pour tous réels x1 et x2 de I tels que x1 ≤ x2, alors f(x1) ≥ f(x2).
Autrement dit, les images de x1 et de x2 sont rangées dans l’ordre inverse de x1 et x2.
Le tableau de variations d’une fonction est un tableau synthétique regroupant les informations concernant les variations de la fonction.
• On dit que la fonction f admet un maximum M sur un intervalle I, atteint en x0 si, quel que soit le réel x de I, on a f(x) ≤ f(x0) = M.
• On dit que la fonction f admet un minimum m sur un intervalle I, atteint en x0 si, quel que soit le réel x de I, on a f(x) ≥ f(x0) = m.
Ce tableau va indiquer les intervalles où f est croissante ou décroissante tout en indiquant les valeurs remarquables de f(les extréma: maximum ou minimum).
La lecture d'un tel tableau indique que le maximum ou le minimum est atteint pour telle ou telle valeur.
Soit f et g deux fonctions de courbes représentatives Cf et Cg dans un repère.
• Equation f(x) = k, k∈ℝ:
Les solutions de cette équation sont les abscisses des points d'intersection (éventuels) de la courbe Cf et de la droite d'équation y = k.
Ces solutions sont les antécédents de k par la fonction f.
• Equation f(x) = g(x):
Les solutions de cette équation sont les abscisses des points d'intersection (éventuels) des courbes Cf et Cg.
Soit f et g deux fonctions de courbes représentatives Cf et Cg dans un repère.
• Equation f(x) ≥ k, k∈ℝ:
Les solutions de cette équation sont les abscisses des points de la courbe Cf qui ont une ordonnée supérieure ou égale à k.
• Equation f(x) ≥ g(x):
Les solutions de cette équation sont les abscisses des points de la courbe Cf située au-dessus de la courbe Cg.
• La fonction carré est la fonction f définie sur ℝ par: f(x) = x2.
La fonction carré est strictement décroissante sur l’intervalle ]-∞;0] et strictement croissante sur l’intervalle [0;+∞[.
Tableau de variations: |
Courbe représentative: L'axe des ordonnées est axe de symétrie de cette parabole. |
• La fonction inverse est la fonction f définie sur ]-∞;0[ ∪ ]0; +∞[ par: f(x) = 1/x.
La fonction inverse est strictement décroissante sur l’intervalle ]-∞; 0[ et strictement décroissante sur l’intervalle ]0; +∞[.
Tableau de variations: |
Courbe représentative: L'origine du repère est centre de symétrie de cette hyperbole. |
• La fonction racine carrée est la fonction f définie sur [0; +∞[ par: f(x) = √x.
La fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle [0; +∞[.
Tableau de variations: |
Courbe représentative: |
• Pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;1]: • Pour tout nombre réel x de l'intervalle [1;+∞]: |
• La fonction cube est la fonction f définie sur ℝ par: f(x) = x3.
La fonction cube est strictement croissante sur ℝ.
Tableau de variations: |
Courbe représentative: L'origine du repère est centre de symétrie de la courbe représentative de la fonction cube |
f est une fonction définie sur un intervalle I.
a et a+h sont deux nombres réels de I, avec h≠0.
Si le taux de variation (f(a+h)−f(a)/h tend vers un nombre fini lorsque h tend vers 0, on dit que la fonction f est dérivable en a. Ce nombre est alors appelé nombre dérivé de f en a. On le note f'(a). On a donc : |
On considère la fonction f définie sur ℝ par: f(x) = x2
Pour montrer que f est dérivable en a=2, on calcule: (f(2+h)-f(2))/h, avec h un réel non nul.
(f(2+h)-f(2))/h=((2+h)2-22)/h=(4h+h2)/h=4+h.
limh→0(4+h) = 0.
La fonction est dérivable en a=2 et f'(2)=4.
Le nombre dérivé de f en a est donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a.
La tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a admet comme équation :
Si une fonction est dérivable pour tout réel a de l’intervalle I, on dit qu’elle est dérivable sur l’intervalle I.
On appelle fonction dérivée de f sur l’intervalle I la fonction qui, à tout x de I, associe le nombre dérivé f'(x).
On note cette fonction f'.
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1) Soit f définie sur ℝ par f(x)=2x2+2x-4.
Pour tout x∈ℝ, on f'(x)=2×(2x)+2×(1)-0=4x+2.
2) Soit g définie sur ]0;+∞[ par g(x)=x/√x.
g est de la forme u/v, avec u(x)=x et v(x)=√x.
u'(x)=1 et v'(x)=1/(2√x), g'(x) = (u'(x)v(x) - v'(x)u(x))/v2(x) = (√x - x.1/(2√x))/(√x)2 = 1/(2√x), après simplification.
On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I.
∗ Si pour tout x∈I, f'(x) > 0, alors f est strictement croissante sur I.
∗ Si pour tout x∈I, f'(x) < 0, alors f est strictement décroissante sur I.
∗ Si pour tout x∈I, f'(x) = 0, alors f est constante sur I.
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Si f admet un extremum local en x0∈I, alors f'(x0) = 0.
A retenir:
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert I et x0∈I.
Si f'(x0) = 0 et si f' change de signe en x0, alors f admet un extremum local en x0.
← La dérivée s'annule en x0 en changeant de signe → |
f est la fonction définie sur ℝ par: f(x)=x/(1+x2). f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition ℝ. Pour tout x∈ℝ, on a: f'(x)=(1-x2)/(1+x2)2. ((u/v)'= (u'v-uv')/v2) L'équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse a=0 est: y=f'(0)(x-0)+f(0)=1x+0. L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est y=x. |
Tableau de variation: |
E est un ensemble de référence ayant b élèments et A une partie de E ayant a élèments.
• Proportion = (nombre d'élèments de A)/(nombre d'élèments de E) = (quantité partielle)/(quantité totale).
• La part de A dans E, en pourcentage, est le nombre t tel que: t = (a/b)×100.
• Dire que le nombre a vaut t% du nombre b signifie: a = (t/100)×b.
• A retenir: prendre t% d'une quantité revient à calculer: quantité×(t/100).
Soit 3 ensembles A, B, E tels que: A⊂ B ⊂ E.
Si A représente t1% de B et si B représente t2% de E, la part de A par rapport à E est:
1) Une association sportive compte 200 adhérents.
On sait que 64% d'entre eux ont moins de 18 ans.
Le nombre d'adhérents de moins de 18 ans est: 200×(64/100) = 128, donc 128 adhérents ont moins de 18 ans.
Dans cette association, 45 adhérents ont plus de 50 ans.
On souhaite calculer le pourcentage d'adhérents de plus de 50 ans:
t = (45×100)/200 = 22,5; 22,5% des adhérents ont plus de 50 ans.
2) Dans un lycée de 800 élèves :
25 % des élèves sont en 1ère ES et 45 % des élèves de 1ère ES sont des filles.
La part des filles de 1ère ES dans le lycée est :
t/100 = 25/100×45/100 = 1125/10000 = 11,25%.
Le nombre de filles en Seconde est 1125/10000×800 = 90.
• Augmenter une quantité de t%, c'est la multiplier par: 1 + t/100.
• Diminuer une quantité de t%, c'est la multiplier par: 1 - t/100.
• 1 + t/100 est le coefficient multiplicateur associé à une hausse (ou augmentation) de t%.
• 1 - t/100 est le coefficient multiplicateur associé à une baisse (ou diminution) de t%.
1) Si le coefficient multiplicateur est supérieur à 1, alors c'est une augmentation.
2) Si le coefficient multiplicateur est compris entre 0 et 1, alors c'est une diminution.
Une tablette tactile coûte 219 euros, le gérant du magasin estime qu'il peut augmenter de 20% son prix.
Son nouveau prix sera: 219×(1 + 20/100) = 262,80 euros.
Après réflexion, il décide de réduire de 15% le prix de cette tablette.
Son nouveau prix est: 262,80×(1 - 15/100) = 223,38 euros.
On dit qu'une quantité varie de t% lorsque:
((valeur finale)-(valeur initiale))/(valeur initiale) = t/100.
• Si t est positif, on a une augmentation;
• Si t est négatif, on a une diminution.
Un prix passe de 30 euros à 45 euros. Il a subi une augmentation de: (45-30)/30 = 0,5 = 50%.
Il a subi une augmentation de 50%.
Un indice permet de mesure l'évolution d'une grandeur par rapport à une valeur de référence.
Une variable prend la valeur V0 l'année 0 (= année de référence) et Vk l'année k, alors on dit que:
Ik est l'indice de l'année k avec base 100 l'année 0, si et seulement si:
On trouve:
Un indice est toujours positif:
• Si indice > 100, il correspond à une hausse par rapport à l'année de référence.
• Si indice < 100, il correspond à une baisse par rapport à l'année de référence.
Si le nombre 2600 a pour indice 100, l'indice du nombre 3042 est
I = (3042×100)/2600 = 117.
L'indice du nombre 3042 est 117.
Si le taux d'évolution t1% fait passer de V0 à V1 et si le taux d'évolution t2% fait passer de V1 à V2 alors : le taux d'évolution global t% de V0 à V2 est tel que:
Si le taux d'évolution t% fait passer de V0 à V1 , on appelle taux d'évolution réciproque tʹ%, le taux d'évolution qui fait passer de V1 à V0.
On a alors la relation suivante :
1) Un prix d'un article a augmenté de 4% en 2014 et a baissé de 3% en 2015.
Le taux d'évolution global entre 2014 et 2015 vérifie:
1 + t/100 = (1 + 4/100)×(1 - 3/100) = 1,0088.
Donc t/100 = 0,0088 d'où t = 0,88%.
Le prix de l'aricle a augmenté de 0,88%.
2) Lors de la clôture de la bourse, mercredi soir, une action a diminué de 10%.
Le lendemain soir, le cours de cette action était revenu à son cours du mercredi matin.
Le taux d'évolution durant cette journée de jeudi est:
1 + t'/100 = 1/(1 - 10/100) = 1/0,9 ≈1,111 donc t' ≈ 0,111×100 ≈ 11,1%.
L'action a donc augmenté d'environ 11,1% pour revenir à son cours de mercredi matin.
Une suite numérique est une fonction de ℕ dans ℝ.
On définit une suite en associant à tout entier naturel n, un nombre réel noté un: on l'appelle terme de rang n de la suite.
Cette suite est notée (un) ou encore u.
Ne pas confondre un et (un), la première notation désignant le terme de rang n et la seconde désignant la suite elle-même.
• Définition explicite : Le terme général un est exprimé en fonction de n, on écrit souvent un = f(n), où est une fonction définie sur [0;+∞[ et un est l'ordonnée du point de la courbe de f dont l'abscisse est n.Exemple: Considérons la suite (un) définie par: un = 1/n pour tout n ≥ 1. u1 = f(1) = 1; u2 = f(2) = 1/2; u3 = f(3) = 1/3; ... . Dans un repère, la représentation graphique de la suite (un) est l'ensemble des points de coordonnées (n; un). |
• Définition par récurrence : On donne le terme initial u0 ou u1 et une relation permettant de calculer chaque terme en fonction du précédent, souvent sous la forme un+1 = f(un). Les termes de la suite sont construits sur l'axe des abscisses à l'ade de la courbe et de la droite d'équation y = x. Exemple: Considérons la suite (un) définie par: u0 = -1 et pour tout n ∈ℕ, un+1 = 2un - 1 u1 = 2u0 - 1 = 2×(-1) - 1 = -3; u2 = 2u1 - 1 = 2×(-3) - 1 = -7; u3 = 2u2 - 1 = 2×(-7) - 1 = -15; ... . |
On dit qu'une suite (un) définie dans ℕ est:
• croissante, si pour tout n, un ≤ un+1;
• strictement croissante, si pour tout n, un < un+1;
• décroissante, si pour tout n, un+1 ≤ un;
• strictement décroissante, si pour tout n, un+1 < un.
• une suite dont tous les termes sont égaux est dite constante ou stationnaire.
• si un = f(n), on étudie le sens de variation de f: deux cas:
1) si f est croissante sur [0;+∞[, alors la site (un) est croissante.
2) si f est décroissante sur [0;+∞[, alors la site (un) est décroissante.
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Pour montrer qu'une suite est ni arithmétique ni géométrique, il suffit de calculer trois termes consécutifs :
On utilise un contre-exemple:
• u2-u1 ≠ u1-u0
• u2/u1 ≠ u1/u0
La moyenne de cette série statistique, notée x̄, a pour valeur:
• x̄=(n1x1 + n2x2 + ... + nnxn)/(n1 + n2 +...+ nn).
• Si on note fi la fréquence de la valeur xi, fi = ni/N alors: x̄= f1x1 + f2x2 + ... + fnxn.
• Si l'effectif total N est impair (on écrit N = 2n+1), la médiane est la valeur du terme de rang n+1 dans cette série ordonnée.
Soit la série statistique constitué de 11 (on écrit: 11 = 2×5+1) valeurs:7-7-8-8-9-11-11-13-13-15-17.
La médiane est la 6ième valeur (rang 5+1 = rang 6), soit Me = 11.
• Si l'effectif total N est pair (on écrit N = 2n), la médiane est la demi-somme des termes de rang n et de rang n+1 dans cette série ordonnée.
Soit la série statistique constitué de 12 (on écrit: 12 = 2×6) valeurs:7-7-8-8-9-11-11-13-13-15-17-19.
La médiane est la demi-somme de la 6ième valeur et de la 7ième valeur, soit Me = (11+11)/2 = 11.
• Le premier quartile, noté Q1, est la plus petite valeur de la série statistique telle qu'au moins 25% des données soient inférieures ou égales à cette valeur.
• Le troisième quartile, noté Q3, est la plus petite valeur de la série statistique telle qu'au moins 75% des données soient inférieures ou égales à cette valeur.
• Méthode: Pour déterminer le premier et troisième quartile, on détermine l'effectif total N et on calcule N/4 et 3N/4. Si le résultat obtenu n'est pas entier, on arrondit à l'entier supérieur.
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Dans une classe de Seconde, le professeur s'intéresse aux notes du devoir commun de ses élèves.
Il a relevé les notes de ses 15 élèves: 3-5-18-15-11-12-11-5-9-10-12-3-15-10-7.
Il commence par ranger dans l'ordre croissant les valeurs du caractère de la série statistique:
3-3-5-5-7-9-10-10-11-11-12-12-15-15-18
L'étendue de la série est: 18 - 3 = 15.
Il y a 15 valeurs, l'effectif total est donc égal à 15.
• La médiane est: N = 15 = 2×7 + 1, donc la médiane est la 8ième valeur, soit Me = 10.
• La moyenne est: x̄ = (3×2+5×2+...+1×17+1×18)/15 ≈ 9,7.
• N/4 = 15/4 = 3,75: Q1 correspond à la 4ième valeur de la série: Q1 = 5.
• 3N/4 = 45/4 = 11,25: Q3 correspond à la 12ième valeur de la série: Q3 = 12.
Le professeur conclue que les trois quarts de ses élèves ont une note inférieure ou égale à 12.
Le tableau suivant donne la proportion de fumeurs (en %) pour les hommes et les femmes des différents pays de l’Union européenne en 2000.
L’effectif total des deux séries est de 15.
La médiane est donc la 8ème valeur, le 1er quartile est la 4ème valeur.
Enfin, le 3ème quartile est la 12ème valeur.
On obtient donc les résultats suivants:
Me = 39; Q1 = 35; Q3 = 47.
Par un raisonnement analogue on obtient les résultats suivants:
Me = 27; Q1 = 22; Q3 = 30.
Par le décalage des boîtes, on peut dire que la proportion des fumeurs chez les femmes est bien moindre par rapport à celle des hommes ; en effet, la médiane chez les femmes est bien plus petite que celle des hommes (50 % ...).
Dernier point : l’écart interquartile chez les hommes est [35 ; 47], celui chez les femmes est [22 ; 30].
Ce sont deux intervalles de longueur différente => il y a une plus grande dispersion chez les hommes.
Soit x1, x2,..., xp une série statistique de moyenne x̄ :
Valeurs | x1 | x2 |
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xp |
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Valeurs | x1 = 0 | x2 = 1 |
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x4 = 3 |
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On commence par calculer la moyenne:
x̄ = (4×0+1×18+2×6+3×4)/(4+18+6+4) = 1,3.
On en déduit la variance:
V = [4(0 - 1,3)2 + 18(1 - 1,3)2 + 6(2 - 1,3)2 + 4(3 - 1,3)2] /[4+18+6+4] ≈ 0,7.
L'écart-type est:
σ ≈ √(0,7) ≈ 0,8.
Une variable aléatoire X sur Ω est une fonction qui, à chaque issue de Ω, associe un nombre réel.
Lorsqu'à chaque valeur xi, on associe la probabilité de l'événement (X=xi), on définit la loi de probabilité de X.
On représente la loi de probabilité à l'aide d'un tableau:
X = xi | x1 | x2 |
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xn |
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Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x1; x2; ...; xn avec les probabilités p1; p2; ...; pn.
Un jeu consiste à tirer une carte au hasard une carte parmi un jeu de 32 cartes; le joueur doit miser 1,5 euros pour jouer.
• Si le joueur tire un as, il gagne 4 euros;
• Si le joueur tire un roi, il gagne 2 euros;
• Si le joueur tire une dame ou un valet, il gagne 1 euro;
• Sinon le joueur ne gagne rien.
Soit G la variable aléatoire qui à chaque carte tirée associe le gain du joueur.
La loi de probabilité est:
X = xi | -1,5 | -0,5 |
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2,5 |
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L'espérance de G est:
Le gain moyen pour ce jeu est -0,5 euros par partie; le joueur perd en moyenne 50 centimes d'euros par partie.
On lance trois fois de suite une pièce bien équilibrée. L'arbre ci-dessous représente la situation: |
Règles pour utiliser un arbre pondéré:
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Définitions:
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Schéma de Bernoulli:
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Définitions:
Propriété:Soit X une variable aléatoire suivant une loi B(n;p).
Exemple:On lance trois fois de suite une pièce bien équilibrée. L'arbre ci-dessous représente la situation: Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli dont le succés est "obtenir pile". Donc p = 1/2. On peut donc associer la loi binomiale de paramètres n = 3 (le nombre de lancers) et p = 1/2.
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On considère une population dans laquelle on étudie un caractère présent dans la
proportion p.
On prélève au hasard et avec remise un échantillon de taille n, et on note f la fréquence du caractère étudié dans cet échantillon.
La variable aléatoire X qui compte le nombre d'individus de l'échantillon qui présente le caractère étudié, suit la loi binomiale B(n,p).
L'intervalle de fluctuation à 95% d'une fréquence correspondant à la réalisation sur un échantillon de taille n, d'une variable aléatoire X de loi binomiale B(n,p) est l'intervalle
[a/n; b/n] défini par:
Les fréquences observées dans les échantillons de taille n, appartiennent à l'intervalle
[a/n; b/n] dans au moins 95% des cas.
Un laboratoire affirme que son médicament sauve 40% des patients atteints d'une maladie rare.
Pour contrôler cette affirmation, on le teste sur 100 patients souffrant de cette maladie.
On constate que la fréquences des malades sauvés par ce médicament est: f = 0,30.
Soit X le nombre de malades sauvés par ce médicament dans un échantillon de malades assimilé à un tirage avec remise:
X suit une loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,4, noté B(100, 0,4).
Utilisation de la TI-83 CE:
Touches:
f(x)
2nde Var puis on choisit B:binomFRép(
puis nbreEssais:100, p = 0,4, valeur de x:X puis entrer
Puis touches 2nde graphe
On trouve a = 31. |
On trouve b = 50. |
L'intervalle defluctuation à 95% est: [31/100; 50/100] = [0,31; 0,50].
Or la fréquence est 0,30: donc 0,30 ∉ [0,31; 050].
En conclusion, au seuil du risque de 5%, on rejette l'hypothèse que ce médicament sauve 40% des malades.