Réponse:

Pour une suite arithmétique:
Expression de récurrence: u_n+1=u_n+r
Expression explicite:=u_n=u_p+(n-p)r (si p=0, on a:=u_n=u₀+nr)

Pour une suite géométrique:
Expression de récurrence: u_n+1=u_n×q
Expression explicite:=u_n=u_p×q^n-p (si p=0, on a:u_n=u₀×qⁿ)

Réponse:

Une suite est dite convergente si elle tend vers un nombre fini, qu'on appelle limite
On note:

Sinon on dit que la suite est divergente

Réponse:

Une suite est dite bornée si elle est à la fois minorée et majorée

Une suite (u_n) est minorée par un réel m si pour tout entier naturel n on a:

Une suite (u_n) est majorée par un réel M si pour tout entier naturel n on a:

Réponse:

Comme f est croissante, alors la suite (u_n) est croissante.
(De même, on aurait: si f était décroissante, alors la suite (u_n) serait décroissante)

Réponse:

C'est étudier le comportement d'une fonction:
1) Le calcul d'une limite d'une fonction f permet de savoir "vers quoi se rapproche f(x) quand x se rapproche d'une borne ouverte de l'ensemble de définition";
2) Le calcul d'une limite d'une fonction f permet d'étudier son comportement asymptotique (asymptotes horizontales ou verticales);
3) Le calcul d'une limtie d'une fonction f permet de vérifier la continuité de cette fonction (savoir si f est continue en x=a ou si discontinuité (rupture dans le tracé)

Réponse:

1) Simplifier l'expression:
Exemple:
lim_x→1^(x2-1)/_(x-1)=lim_x→1(x+1)=2, car x²-1=(x-1)(x+1) et F.I forme "0/0";
2) Factoriser par le monôme de plus haut degré;
Exemple:
lim_x→+∞^(x2+3x)/_(x²-1)=lim_x→+∞(x²(1+³/_x))/(x²(1-¹/_x²))=1, car F.I forme "∞/∞";

3) Si l'expression de la fonction contient une racine carrée on lève l'indétermination en multipliant par le conjugué de l'expression contenant la racine carré au numérateur et au dénominateur.
lim_x→0^[√(x+1)-1]/_x= lim_x→0^[√(x+1)-1]/_(x)×^[√(x+1)+1]/_[√(x+1)+1]= lim_x→0^x/_{[x×(√(x+1)+1)]}= lim_x→0¹/_{(√(x+1)+1)=¹/2}

Réponse:

lim_x→±∞f(x)=a, a∈ℝ alors la droite d'équation y=a est une asymptote horizontale au voisinage de ±∞.
Cela signifie que la courbe va se rapprocher de la droite sans jamais l'atteindre.

Réponse:

Soit C_f la courbe représentative de la fonction f et Δ la droite d'équation y=a.
Etudier la postion relative de la courbe f par rapport à Δ revient à étudier le signe de la différence: f(x)-y
1) Si f(x)-y>0 sur un intervalle I, alors la courbe C_f est au-dessus de Δ sur I.
2) Si f(x)-y<0 sur un intervalle I, alors la courbe C_f est en-dessous de Δ sur I.
3) Si f(x)-y=0 sur un intervalle I, alors la courbe C_f coupe Δ sur I.

Réponse:

Une fonction f est continue en a si on a:
lim_x→af(x)=f(a)

Réponse:

Si f est continue sur un intervalle I=[a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un nombre α∈[a;b] tel que: f(α)=k
⚠ ce théorème permet de connaître le nombre de solutions, s'il y en a, mais ne permet pas de connaître leurs valeurs

Réponse:

Ce corollaire permet de justifier l'existence d'une unique solution sur un intervalle à l'équation f(x)=k, équation que l'on ne peut résoudre directement par le calcul.
On utilise la calculatrice pour trouver une valeur approchée de la solution de l'équation f(x)=k (on utilise la méthode de dichotomie pour la trover).

Réponse:

La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée première: f"(x)=(f'(x))'

Réponse:

A) Les trois propositions sont équivalentes:
1) f est convexe sur I;
2) f' est croissante sur I;
3) f" est positive sur I.

B) Les trois propositions sont équivalentes:
1) f est concave sur I;
2) f' est décroissante sur I;
3) f" est négative sur I.

Réponse:

A) Si f est convexe
f(x)≥f'(a).(x-a)+f(a).

B) Si f est concave
f(x)≤f'(a).(x-a)+f(a).

Réponse:

On doit calucler f(-x) et vérifier que:
1) Si f(-x)=f(x) alors la fonction est paire;
2) S f(-x)=-f(x) alors la fonction est impaire;
3) Si f(-x)≠f(x) et f-x)≠-f(x) alors la fonction n'est ni paire ni impaire.

Réponse:

On doit calucler f(x+T), avec T un réel strictement positif et vérifier que:
Soit D le domaine sur lequel la fonction f est définie.
Si pour tout x∈D et x+T∈D, on a: f(x+T)=f(x) alors on dit que:
f est périodique de période T (ou f est T-périodique).

Réponse:

Ces fonctions sont 2π-périodiques: on va donc choisir un intervalle de longueur 2π:
On choisit l'intervalle [-π;π].
On va utiliser la parité de ces deux fonctions:
La fonction "cosinus" est paire et la fonction "sinus" est impaire.
On peut donc choisir de restreindre l'intervalle [-π;π] à l'intervalle [0;π];
On complétera par une symétrie axiale ou centrale selon la parité sur l'intervalle [-π;0], puis par des translations pour obtenir les courbes sur ℝ.

Réponse:

On utilise les formules suivantes:
-1≤cos(x)≤1 et -1≤sin(x)≤1 et on utilise le théorème d'encadrement (= des gendarmes)

Réponse:

La fonction "ln" est la fonction réciproque de la fonction "exp", leurs courbes C_ln et C_exp sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.

Réponse:

La fonction "ln" est strictement croissante.
Soient x et y deux réels strictemeent positifs tels que x>y équivaut à ln(x)>ln(y) (on conserve l'ordre).
Cas particulier: ln(x)>0 équivaut à x>1 (car ln(1)=0).
De même on a: x=y équivaut à ln(x)=ln(y).

Réponse:

Si I est un intervalle et la fonction u est dérivable dans I avec u(x)>0.
La fonction f est aussi dérivable dans I et on a:
f'(x)=(ln(u(x)))'=^u'(x)/_u(x)

Réponse:

On utilise le théorème des croissances comparées:

Réponse:

C’est une équation qui relie une fonction et ses dérivées.

Réponse:

Les solutions de l'équation différentielle y'=f sont les primitives de la fonction f.

Réponse:

Soient a≠0 et b deux réels.
Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions de la forme y(x)=Ce^ax-(^b/_a), avec C∈ℝ.
Cas particulier: Si b=0, alors l'équation différentielle du type y'=ay admet comme solution y(x)=Ce^ax.

Réponse:

La solution est de la forme y(x)=Ce^ax+y_p, où y_p une solution particulière, elle est souvent donné dans l'énoncé.

Réponse:

Elle représente l'aire de la partie délimitée par la courbe de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.

Réponse:

Si f et g sont continues sur un intervalle [a;b] (avec a≤b) et si f(x)≤g(x) pour tout x∈|a;b].
Alors on a:

Réponse:

La valeur moyenne de f sur un intervalle est donnée par:

Réponse:

1) Si f est paire:

2) Si f est impaire:

Réponse:

Les points A, B et C sont alignés ⇔ les vecteurs → AB et → AC sont colinéaires ( → AB = k → AC , avec k réel).

Réponse:

La droite de vecteur directeur → u et passant par le point A est l'ensemble des points M tels que:
→ AM = k → u , avec k réel

Réponse:

Deux droites de l'espace sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinèaires.

Réponse:

Deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale de l'autre.

Réponse:

Il faut un point A(x_A; y_A; z_A) appartenant à la droite et un vecteur directeur → u de d .

Il existe une infinité de représentations paramétriques pour une même droite.

Réponse:

Il faut un point A(x_A; y_A; z_A) appartenant au plan et un vecteur normal → n(a,b,c) de ce plan.

Une équation de ce plan est: ax + by+ cz + d =0, on obtient "d" grâce au point A qui apparteint à ce plan.

Réponse:

Une combinaison est un moyen de choisir un sous-ensemble de 𝑘 éléments parmi 𝑛 sans tenir compte de l’ordre.

On emploie les combinaisons quand la disposition interne des éléments choisis n’a aucune importance (par exemple former un comité).

Réponse:

Une combinaison consiste à sélectionner 𝑘 éléments parmi 𝑛 sans se soucier de leur ordre, tandis qu’un arrangement choisit et ordonne ces mêmes 𝑘 éléments.

Le fait de considérer ou non la disposition interne est le critère fondamental qui les distingue.
Exemples:
1) Combinaisons: tirage (tirage de 4 joueurs parmi 12: on ne distingue pas qui est capitaine ou remplaçant), comité, ...: aucun ordre.
2) Arrangements: podium (or/argent/bronze: la place est improtante), code PIN, ...: l'ordre est important.