Réponse:

Soit un polynôme du second degré: f(x)=ax²+bx+c

La forme: f(x)=a(x-α)²+β, où α=^(-b)/_(2a) et β=f(α) est appelée forme canonique

Dans les calculs, vous serez amené à utiliser l'une des trois formes:

1) La forme développée: f(x)=ax²+bx+c;

par exemple: pour calculer f(0).

2) La forme canonique: f(x)=a(x-α)²+β;

par exemple: pour calculer f(α).

3) La forme factorisée: f(x)=a(x-x₁)(x-x₂);

par exemple: pour calculer f(x)=0 (un produit de facteur est nul si l'un de ses facteurs est nul).

Réponse:

P(x)=ax²+bx+c.C'est le signe de a SAUF entre les racines

1) Si Δ<0 :

2) Si Δ=0 :

3) Si Δ>0 :

Réponse:

Si α est racine de P alors P(α)=0

On peut donc factoriser P par (x-α)

On obtient: P(x)=(x-α)(ax+b)

On développe et on identifie afin de trouver a et b.

Réponse:

On pose: X=x² et on obtient:

On calcule les racines X₁ et X₂, si elles existent (calculer le discriminant)

Puis on résoud X₁=x²₁ et X₂=x²₂

Attention: on peut obtenir entre 0 et 4 solutions!

Attention: Si X<0, alors x²<0: pas de solution (un carré est toujours positif).

Réponse:

Le coefficient directeur de la droite (AB) est:

Réponse:

Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse x=a est:

On appelle ce nombre,f'(a), coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse x=a.

Réponse:

Une fonction f est dérivable en x=a, a réel:

On appelle L le nombre dérivé.

On dit que f est dérivable en a et f'(a)=L, L réel.

Réponse:

Soit f une fonction continue et dérivable sur un intervalle I:

Réponse:

La fonction f est dérivable sur un intervalle I et soit a un réel appartenant à I (différent des bornes de I).

On dit que:

Attention: La réciproque est fausse:
Exemple: f(x)=x³ alors f'(0)=0 mais f n'admet pas d'extremum en 0 (f'(x)=3x²≥0, pas de changement de signe)

Réponse:

Etudier la position de deux courbes, c'est déterminer sur quel intervalle l'une est située au-dessus de l'autre.

On dit que:

Réponse:

On étudie les variations de la fonction B(x)=R(x)-C(x), où R fonction recette et C fonction coûts de fabrication.
On étudie le signe de la dérivée (on trouve la valeur x₀ qui annule la dérivée: B'(x₀)=0) puis on fait le tableau de variations (croissant puis décroissant).
On lit sur le tableau la valeur y₀ (on calcule B(x₀)=y₀) qui correspond au maximum.

Réponse:

1) Suite explicite:
Une suite est définie de façon explicite lorsqu'on dispose d'une formule du type u_n=f(n) permettant de calculer chaque terme de la suite à partir de son rang.
Exemple:
u_n=2n+3, on peut calculer u₁₀₀=2x100+3=203.
2) Suite récurrente:
Une suite est définie par une relation de récurrence lorsqu'on dispose d'une formule du type u_n+1=f(u_n) permettant de calculer chaque terme de la suite à partir du terme précédent.
Exemple:
u_n+1=2u_n+n-1 et on donne u₀=1 pour calculer u₂ il faut calculer d'abord u₁=2u₀+0-1=1 et donc u₂=2u₁+1-1=2.

Réponse:

La représentation graphique d'une suite(u_n) pour tout n∈ℕ dans un repère du plan, s'obtient en plaçant les points de coordonnées (n;u_n) lorsque n parcourt ℕ.

Réponse:

Soit (u_n) la suite définie explicitement par u_n=f(n), où f est une fonction définie sur ℝ⁺, alors (u_n) a le même sens de variation que f:
1) si f est croissante, alors la suite (u_n) est croissante,
2) si f est décroissante, alors la suite (u_n) est décroissante.

Réponse:

Une suite géométrique est une suite de nombres où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante q appelée raison:

Réponse:

On utilise un contre-exemple:
^u₂/_u1≠^u₁/_u0

Réponse:

Si (u_n) est une suite arithmétique de raison q, alors pour les entiers naturels n et p, on a:

Réponse:

S=u₀+u₁+ ... +u_n
S=(1^er terme).^{(1-qnombre de termes)}/_(1-q)

Réponse:

Le radian est une unité d'angles.

1 π rad correspond à 180°.

Réponse:

Le cosinus de x, noté cos(x) et le sinus de x, noté sin(x) sont respectivement l’abscisse et l’ordonnée de M .

Réponse:

1) Si f(x)=f(-x) on dit que f est paire et sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (= symétrie axiale, l'axe des ordonnées):
Exemple: la fonction "cos" est paire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
2) Si f(x)=-f(-x) on dit que f est impaire et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère (= symétrie centrale de centre O)):
Exemple: la fonction "sin" est impaire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine.

Réponse:

1) cos(a)=cos(b) équivaut alors à: a=b+2kπ où k∈ℤ ou a=-b+2kπ où k∈ℤ;
1) sin(a)=sin(b) équivaut alors à: a=b+2kπ où k∈ℤ ou a=π-b+2kπ où k∈ℤ

Réponse:

1) La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.
2) La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Réponse:

e^a+h+e^a+k=e^a.e^h+e^a.e^k=e^a(e^h+e^k).

On factorise par e^a

Réponse:

1) Reconnaître la forme de la fonction à dériver (u+v; u.v; ^u/_v; e^u);
2) On utilise le fait que la dérivée de e^x est elle-même;
3) On factorise, si possible, par e^x le résultat afin d'étudier le signe du facteur restant (car e^x>0).

Réponse:

Les exponentielles modélisent la croissance d’une population ou la décroissance radioactive.

Réponse:

Calculer la probabilité d'une issue finale revient à multiplier les probabilités des branches qui y ménent.

Réponse:

Deux événements de probabilités non nulles sont indépendants si la réalisation de l'un n'influe pas sur la réalisation de l'autre.

Réponse:

L'une de ces trois égalités est vérifiée:

Réponse:

C’est un tableau qui associe à chaque valeur de la variable aléatoire sa probabilité.

Réponse:

L'espérance mathématique d'un jeu représente le gain moyen qu'un joueur peut espérer obtenir par partie au bout d'un grand nombre d'épreuves.

Réponse:

Si E(x)<0 alors le jeu est défavorable au joueur.

Réponse:

Dans un jeu d'argent, la variance et l’écart-type sont des indicateurs essentiels pour évaluer le niveau de risque et la stabilité des gains ou pertes.
Plus l’écart-type est grand, plus il est probable que les gains soient éloignés de l’espérance.
️ Un petit écart-type indique des gains réguliers.