Afin de vous aider à préparer les devoirs et examens, les corrections sont détaillées. Ne vous contentez pas de lire la correction, adoptez une attitude active: faites l'exercice et vérifiez vos résultats. N'oubliez pas de revoir votre cours avant d'aborder les exercices. |
Exercice 1:
Dans un grand collège, 20,3 % des élèves sont inscrits à l’association sportive.
Une enquête a montré que 17,8 % des élèves de ce collège sont fumeurs.
De plus, parmi les élèves non fumeurs, 22,5 % sont inscrits à l’association sportive.
On choisit au hasard un élève de ce collège.
On note:
• S l'événement "l'élève choisi est inscrit à l'association sportive";
• F l'événement "l'élève choisi est fumeur".
Partie A:
Question 1: Préciser les valeurs des probabilités P(S) et PF̄(S).
On a P(S) = 0,203 et PF̄(S ) = 0,225 |
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p(F̄ ∩ S )= 0,822×0,225 ≈ 0,185 Conclusion: Cela signifie donc qu’environ 18,5% des élèves du collège sont non fumeurs et sont inscrits à l’association sportive. |
Calculer la probabilité que cet élève soit non fumeur.
PS(F̄) = P(F̄ ∩ S)/P(S) ≈ 0,185/0,203 ≈ 0,911. |
P(S) = P(F ∩ S) + P(F̄ ∩ S) (probabilités totales) P(S) - P(F̄ ∩ S) = P(F ∩ S) Donc P(F ∩ S) ≈ 0,203 – 0,185 ≈ 0,018. PF(S) = P(F ∩ S)/P(F) ≈ 0,018/0,178 ≈ 0,101. |
Partie B:
Une loterie, à laquelle tous les élèves du collège participent, est organisée pour la journée anniversaire de la création du collège.
Quatre lots sont offerts.
On admet que le nombre d’élèves est suffisamment grand pour que cette situation soit assimilée à un tirage avec remise.
On rappelle que 20,3 % de l’ensemble des élèves sont inscrits à l’association sportive.
En justifiant la démarche, calculer la probabilité que parmi les quatre élèves gagnants, il y ait au moins un qui soit inscrit à l’association sportive.
On appelle X la variable aléatoire calculant le nombre de gagnants inscrits à l’association sportive. Les 4 tirages sont aléatoires, identiques, indépendants et possède chacun 2 issues : S et S̄. Donc X suit une loi Binomiale de paramètres n = 4 et p = 0,203. On cherche: P(X ≥ 1); on pense à l'événement contraire P(X = 0), 0 inscrit à l'association sportive. P(X ≥ 1) = 1 - P(X =0) = 1 - (40)0,2030×(1 - 0,203)4 P(X ≥ 1) ≈ 0,597. |
Exercice 2:
Les probabilités demandées seront données à 0,001 près.
Une étude est menée par une association de lutte contre la violence routière. Des observateurs, sur un boulevard d’une grande ville, se sont intéressés au comportement des conducteurs d’automobile au moment de franchir un feu tricolore.
On s’intéresse au respect de la signalisation par les automobilistes.
Sur un cycle de deux minutes (120 secondes), le feu est à la couleur « rouge » pendant 42 secondes, « orange » pendant 6 secondes et « vert » pendant 72 secondes.
Par ailleurs, les observateurs notent que les comportements diffèrent selon la couleur du feu :
• lorsque le feu est rouge, 10 % des conducteurs continuent de rouler et les autres s’arrêtent;
• lorsque le feu est orange, 86 % des conducteurs continuent de rouler et les autres s’arrêtent;
• lorsque le feu est vert, tous les conducteurs continuent de rouler.
On s’intéresse à un conducteur pris au hasard, et on observe son comportement selon la couleur du feu et on note:
• R l’évènement « le feu est au rouge»;
• O l’évènement « le feu est à l’orange»;
• Vl’évènement«le feu est au vert»;
• C l’évènement « le conducteur continue de rouler».
Question 1: Modéliser cette situation par un arbre.
P(R) = 42/120 = 0,35; P(O) = 6/120 = 0,05 et P(V) = 72/120 = 0,6. |
On veut calculer: P(C), d’après la formule des probabilités totales on a :
P(C) = P(R ∩ C) + P(O ∩ C) + P(V ∩ C) = 0,35×0,1 + 0,05×0,86 + 0,6×1 |
On veut calculer: PC(V) = ?
PC(V) = P(V ∩ C)/P(C) = 0,6/0,678 |
Exercice 3:
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif.
L’enquête révèle que 70 % des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au développement durable, 80 % pratiquent le tri sélectif.
Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve 10 % qui pratiquent le tri sélectif. On interroge un élève au hasard dans le lycée.
On considère les évènements suivants :
• S : L’élève interrogé est sensible au développement durable;
• T : L’élève interrogé pratique le tri sélectif.
Les résultats seront arrondis à 10−2.
Partie A:
Question 1: Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
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On veut calculer: P(S ∩ T) |
P(T) = P(S ∩ T) + P(S̄ ∩ T) (probabilités totales) |
On veut calculer: PT̄(S) |
Partie B:
On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l’établissement.
Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d’élèves pratiquant le tri sélectif parmi les 4 élèves interrogés.
Le nombre d’élèves de l’établissement est suffisamment grand pour que l’on considère que X suit une loi binomiale.
Question 1: Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
n = 4 et p = 0,59; |
On veut calculer: P(X = 0) |
On veut calculer P(X ≥ 2) |
Exercice 4:
Une entreprise spécialisée dans la fabrication de confitures fait appel à des producteurs locaux.
À la livraison, l’entreprise effectue un contrôle qualité à l’issue duquel les fruits sont sélectionnés ou non pour la préparation des confitures.
Une étude statistique a établi que :
• 22 % des fruits livrés sont issus de l’agriculture biologique ;
• parmi les fruits issus de l’agriculture biologique, 95 % sont sélectionnés pour la préparation des confitures ;
• parmi les fruits non issus de l’agriculture biologique, 90% sont sélectionnés pour la préparation des confitures.
On prélève au hasard un fruit et on note :
• B l’évènement « le fruit est issu de l’agriculture biologique » ;
• S l’évènement « le fruit est sélectionné pour la préparation des confitures ».
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On calcule: P(B ∩ S) |
On calcule: P(S) (probabilités totales) |
On calcule: PS(F̄) |
Exercice 5:
Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires.
La totalité de la production est réalisée par deux machines MA et MB.
La machine MA fournit 40 % de la production totale et MB le reste.
La machine MA produit 2 % de médailles défectueuses et la machine MB produit 3 % de médailles défectueuses.
Partie A:
On prélève au hasard une médaille produite par l’entreprise et on considère les évènements suivants :
• A : « la médaille provient de la machine MA»;
• B : « la médaille provient de la machine MB»;
• D : « la médaille est défectueuse»;
• D̄ est l’évènement contraire de l’évènement D.
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On calcule: P(D) (probabilités totales) |
On calcule: PD(F̄) |
Partie B:
Les médailles produites sont livrées par lots de 20.
On prélève au hasard un lot de 20 médailles dans la production.
On suppose que la production est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.
Les tirages sont supposés indépendants.
On note X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de médailles défectueuses contenues dans ce lot.
On est dans le cas d’une expérience de Bernoulli: 2 issues: la médaille est défectueuse ou non. |
On calcule:P(X ≤ 1) |
Exercice 1:
Partie A:
Un industriel veut lancer sur le marché une gamme de produits spécialement conçus pour les gauchers.
Auparavant il cherche à estimer la proportion de gauchers dans la population française.
Une première étude portant sur un échantillon de 4 000 Français révèle que l’on dénombre de 484 gauchers.
Un intervalle de confiance au niveau de confiance de 0,95 vaut: |
L’amplitude de l’intervalle [f − 1/√n ; f + 1/√n] vaut 2/√n. |
Partie B:
Des chercheurs ont conçu un test pour évaluer la rapidité de lecture d’élèves de CE2.
Ce test consiste à chronométrer la lecture d’une liste de 20 mots.
On a fait passer ce test à un très grand nombre d’élèves de CE2.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le temps en seconde mis par un élève de CE2 pour passer le test.
On admet que X suit la loi normale d’espérance μ = 32 et d’écart-type σ = 13.
P(19 ≤ X ≤ 45) ≈ 0,68 |
t = 49 s . |
Exercice 2:
Une machine permet le conditionnement d’un jus de fruit dans des bouteilles.
La quantité de jus injecté dans une bouteille par la machine, exprimée en ml (millilitre), est modélisée avec une variable aléatoire réelle X.
On admet que celle-ci suit une loi normale de moyenne μ = 500 et d’écart-type σ = 2.
Partie A:
On prélève une bouteille au hasard en fin de chaîne de remplissage.
Question 1: Déterminer P(X ≤ 496). Donner le résultat arrondi à 10−2 près.
P(X ≤ 496) ≈ 0,02 |
P(497 ≤ X ≤ 500) ≈ 0,43 |
On sait d'après le cours: |
Partie B:
Une association de consommateurs a testé un lot de 200 bouteilles issues de cette chaine de production.
Il a été constaté que 15 bouteilles contiennent moins de 500 ml de jus de fruit contrairement à ce qui est annoncé sur l’étiquetage.
L’entreprise qui assure le conditionnement de ce jus de fruit affirme que 97 % des bouteilles produites contiennent au moins 500 millilitres de jus de fruit.
Le test réalisé par l’association remet-il en cause l’affirmation de l’entreprise ?
n = 200 et p = 0,97 (= probabilité que la bouteille soit conforme). |
Exercice 3:
Partie A:
Le directeur d'un magasin souhaite estimer, parmi tous ses clients, le pourcentage de personnes qui trouvent l’opération promotionnelle intéressante.
Pour cela, il interroge au hasard 210 clients et note que 123 la trouvent intéressante.
Donner un intervalle de confiance au seuil de 95% pour la proportion de clients qui trouvent l’opération promotionnelle intéressante.
n = 210 et la fréquence de clients trouvant l’opération promotionnelle intéresante est f = 123/210 ≈ 0,586. |
Partie B:
Pour sa prochaine promotion, le directeur s’intéresse à l’âge de ses clients.
On modélise l’âge des clients en années par une variable aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne μ = 40 et d’écart-type σ = 8.
P(X ≥ 60) ≈ 0,06 |
P(30 ≤ X ≤ 50) ≈ 0,789 |
Exercice 4:
Sur une exploitation agricole, une maladie rend la conservation de fruits difficile.
Un organisme de recherche en agronomie teste un traitement sur un champ : sur une partie du champ, les fruits sont traités, sur l’autre, non.
On considère que le nombre de fruits récoltés est extrêmement grand et que la maladie touche les fruits de manière aléatoire.
On prélève au hasard 100 fruits sur la partie du champ traité et 100 fruits sur l’autre partie du champ.
On constate que :
• sur l’échantillon des 100 fruits traités, 18 sont abimés;
• sur l’échantillon des 100 fruits non traités, 32 sont abimés.
L’intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % vaut: |
Dans le cas du champ traité, la proportion de fruits abimés oscillera entre 8% et 28% avec une probabilité de 0,95. |
Exercice 5:
Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.
Les probabilités et les fréquences demandées seront données à 0, 001 près.
Dans un atelier de confiserie, une machine remplit des boîtes de berlingots après avoir mélangé différents arômes.
Partie A:
On admet que la variable aléatoire X qui, à chaque boîte prélevée au hasard, associe sa masse (en gramme) est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la loi normale de paramètres μ = 500 et σ = 9.
Question 1: À l’aide de la calculatrice, déterminer la probabilité que la masse X soit comprise entre 485 g et 515 g.
P(485 ≤ X ≤ 515) ≈ 0,904 |
L’atelier proposera à la vente les boîtes dont la masse est comprise entre 485g et 515g. |
P(X ≥ 490) ≈ 0,867 |
P(X ≤ m) = 0,01, à la calculatrice, on trouve m = 479. |
Partie B:
La machine est conçue pour que le mélange de berlingots comporte 25 % de berlingots parfumés à l’anis.
On prélève 400 berlingots au hasard dans le mélange et on constate que 84 sont parfumés à l’anis.
n = 400 et p = 0,25. |
La fréquence f des berlingots parfumés à l’anis dans l’échantillon prélevé est 84/400 = 0, 21. |
Comme f ∈ I, on peut estimer, au seuil de confiance de 95 %, que la machine est bien réglée. |
Exercice 1:
Dans une réserve naturelle, on étudie l’évolution de la population d’une race de singes en voie d’extinction à cause d’une maladie.
Partie A:
Une étude sur cette population de singes a montré que leur nombre baisse de 15 % chaque année.
Au 1er janvier 2004, la population était estimée à 25 000 singes.
À l’aide d’une suite, on modélise la population au 1er janvier de chaque année.
Pour tout entier naturel n, le terme un de la suite représente le nombre de singes au 1er janvier de l’année 2004 + n.
On a ainsi u0 = 25 000.
• De 2004 à 2005, la population de singes baisse de 15 %. |
Pour passer d’une année à une autre: un+1 = un×(1− 0,15). |
L1: Variables u un réel, n un entier |
un = 25000×0,85n, on cherche n tel que: 25000×0,85n ≤ 5000 |
Partie B:
Au 1er janvier 2014, une nouvelle étude a montré que la population de cette race de singes, dans la réserve naturelle, ne comptait plus que 5 000 individus.
La maladie prenant de l’ampleur, on met en place un programme de soutien pour augmenter le nombre de naissances.
À partir de cette date, on estime que, chaque année, un quart des singes disparaît et qu’il se produit 400 naissances.
On modélise la population de singes dans la réserve naturelle à l’aide d’une nouvelle suite.
Pour tout entier naturel n, le terme vn de la suite représente le nombre de singes au 1er janvier de l’année 2014 + n.
On a ainsi v0 =5000.
Chaque année 1/4 des singes disparaissent, il reste: v0×(1 − 1/4) à ce nombre on ajoute: 400 naissances. |
Chaque année 1/4 des singes disparaissent, donc il reste: vn×(1−1/4), à ce nombre on ajoute les 400 naissances. |
On considère la suite (wn) définie pour tout entier naturel n par:
wn = vn −1600.
vn+1 = 0,75vn + 400. |
(wn) est une suite géométrique de raison q = 0,75 et de premier terme : |
On sait que: vn = wn + 1600 et wn = 3400×0,75n |
limn→+∞0,75n = 0 (car 0 < 0,75 < 1) Donc limn→+∞vn = 1600. Conclusion: la population de singes va se rapprocher de 1600. |
Exercice 2:
Valentine place un capital c0 dans une banque le 1er janvier 2014 au taux annuel de 2 %.
À la fin de chaque année les intérêts sont ajoutés au capital, mais les frais de gestion s’élèvent à 25 euros par an.
On note cn la valeur du capital au 1er janvier de l’année 2014 + n.
Partie A:
On considère l’algorithme ci-dessous :
INITIALISATION
Affecter à N la valeur 0
TRAITEMENT
Saisir une valeur pour C
Tant que C < 2 000 faire
Affecter à N la valeur N + 1
Affecter à C la valeur 1,02C − 25
Fin Tant que
SORTIE
Afficher N
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a) Les valeurs sont arrondies à l'euro:
b) L’algorithme affiche la valeur 8. Cela signifie qu’à partir de n = 8, c’est-à-dire de l’année 2014 + 8 = 2022, la valeur du capital dépassera 2 000 euros. |
1,02×1250 – 25 = 1250 |
Partie B:
Valentine a placé 1 900 C à la banque au 1er janvier 2014.
On a donc c0 = 1 900.
Chaque année le capital de Valentine augmente de 2%. |
a) un+1 = cn+1 − 1250 = (1,02×cn − 25) - 1250 |
cn+1 - cn = 1,02×cn - 25 - cn = 0,02×cn - 25 |
On doit trouver n tel que: cn ≥ 2100. |
Exercice 3:
Les techniciens d’un aquarium souhaitent régler le distributeur automatique d’un produit visant à améliorer la qualité de l’eau dans un bassin.
La concentration recommandée du produit, exprimée en mg.l−1 (milligramme par litre), doit être comprise entre 140 mg.l−1 et 180 mg.l−1.
Au début du test, la concentration du produit dans ce bassin est de 160 mg.l−1.
On estime que la concentration du produit baisse d’environ 10 % par semaine.
Afin de respecter les recommandations portant sur la concentration du produit, les techniciens envisagent de régler le distributeur automatique de telle sorte qu’il déverse chaque semaine une
certaine quantité de produit.
Les techniciens cherchent à déterminer cette quantité de façon à ce que:
• la concentration du produit soit conforme aux recommandations sans intervention de leur part, pendant une durée de 6 semaines au moins;
• la quantité de produit consommée soit minimale.
Partie A:
Dans cette partie, on suppose que la quantité de produit déversée chaque semaine par le distributeur automatique est telle que la concentration augmente de 10 mg.l−1.
On s’intéresse à l’évolution de la concentration chaque semaine.
La situation peut être modélisée par une suite (Cn), le terme Cn en donnant une estimation de la concentration du produit, en mg.l−1, au début de la
nième semaine.
On a C0 = 160.
Toutes les semaines, la concentration baisse de 10%, donc: |
a) Vn+1 = Cn+1 − 100 = 0,9×Cn + 10 -100 |
a) limn→+∞0,9n = 0 (car 0 < 0,9 < 1). |
Non, car on voulait intervenir à la 6ième semaine, donc on ne respecte pas la concentration recommandée du produit. |
Partie B:
Dans cette partie, on suppose que la quantité de produit déversée chaque semaine par le distributeur automatique est telle que la concentration augmente de 12 mg.l−1.
Que penser de ce réglage au regard des deux conditions fixées par les techniciens ?
• On a la relation: Cn+1 = 0,9×Cn + 12, avec C0 = 160. |
Exercice 4:
On comptait 700 élèves dans un lycée lors de la rentrée de 2012.
À la fin de chaque année scolaire, après le départ des nouveaux bacheliers et des élèves quittant l’établissement, le lycée conserve 70 % de son effectif pour l’année suivante.
Il reçoit 240 nouveaux élèves à chaque rentrée.
En 2013, le lycée a: 0,7×700 + 240 = 730, soit 730 élèves; |
a) un+1 = an+1 – 800 = 0,7an + 240 – 800 |
a) -100×0,7n + 800 ≥ 780 d'où -100×0,7n ≥ 780 - 800 |
Exercice 5:
Une retenue d’eau artificielle contient 100000 m3 d’eau le 1er juillet 2013 au matin.
La chaleur provoque dans la retenue une évaporation de 4 % du volume total de l’eau par jour.
De plus, chaque soir, on doit libérer de la retenue 500 m3 pour l’irrigation des cultures aux alentours.
Cette situation peut être modélisée par une suite (Vn).
Le premier juillet 2013 au matin, le volume d’eau en m3 est V0 = 100 000.
Pour tout entier naturel n supérieur à 0, Vn désigne le volume d’eau en m3 au matin du
nième jour qui suit le 1er juillet 2013.
a) V1 = 0,96×V0 – 500 = 95500. |
L1: VARIABLES : V est un nombre réel
L2: N est un entier naturel
L3: TRAITEMENT : Affecter à V la valeur 100 000
L4: Affecter à N la valeur 0
L5: Tant que V > 0
L6: Affecter à V la valeur . . .
L7: Affecter à N la valeur . . .
L8: Fin Tant que
L9: SORTIE: Afficher . . .
L7 : Affecter à N la valeur N+1 L9 : Afficher N. |
a) Un+1 = Vn+1 +12500 = 0,96×Vn – 500 + 12500 = |
a) 112500×0,96n − 12500 ≤ 0 |
Exercice 1:
Partie A:
La fonction f est définie pour tout réel x élément de l’intervalle [1; 7] par :
f(x) = 1,5x3 − 9x2 + 24x + 48.
On note f′ la fonction dérivée de la fonction f et f′′ sa dérivée seconde sur [1; 7].
a) f'(x) = 1,5×3x2 − 9×2x +24 = 4,5x2 − 18x + 24. |
La fonction f est convexe sur les intervalles sur lesquels sa dérivée première f′ est croissante, c’est-à-dire sur lesquels sa dérivée seconde f′′ est
positive. |
Partie B:
Une entreprise fabrique et commercialise un article dont la production est comprise entre
1 000 et 7 000 articles par semaine.
On modélise le coût de fabrication, exprimé en milliers d’euros, par la fonction f définie dans la partie A où x désigne le nombre de milliers d’articles fabriqués.
On note c la fonction définie sur [1;7] représentant le coût moyen par article fabriqué, exprimé en euros.
On a, par conséquent, pour tout x de [1; 7] :
c(x) = f(x)/x = 1,5x2 − 9x + 24 + 48/x.
On admet que la fonction c est dérivable sur [1; 7].
On note c′ sa fonction dérivée.
c′(x) = 1,5×2x − 9 + 0 + 48×(-1/x2) = 3x - 9 - 48/x2 |
a) On cherche le signe de c′(x) sur l’intervalle [1; 7]. Il faut donc que l’entreprise fabrique 4 000 articles par semaine pour que le coût moyen par article soit minimal. |
Exercice 2:
Une seule des quatre réponses proposées est exacte, justifier votre réponse.
Question 1: Soit la fonction f définie sur [1;100] par f(x) = 200×ln(x) + 10x, f′(x) désigne la fonction dérivée de f.
La fonction f est dérivable sur [1;100] comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle. |
Etudions le signe de la dérivée seconde de g pour déterminer la convexité: |
Graphiquement la tangente au point A semble passer par l’origine du repère. |
Exercice 3:
On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par: f(x) = 3x − 3x×ln(x).
On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé et T la tangente à Cf au point d’abscisse 1.
La fonction f est dérivable sur ]0;+∞[ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. La tangente T est au-dessus la courbe Cf. |
Exercice 4:
On considère la fonction f définie par f(x) = 2x2×ln(x) sur [0,2; 10] et on note (Cf) sa courbe représentative dans un repère du plan.
Le but de cet exercice est de prouver que la courbe (Cf) admet sur [0,2;10] une seule tangente passant par l’origine du repère.
On note f′ la fonction dérivée de la fonction f .
La fonction f est dérivable sur [0,2;10] en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle ((uv)' = u'v + uv'). |
Une équation de la tangente au point d’abscisse x0 est de la forme: |
La tangente passe par l’origine du repère si, et seulement si, |
Exercice 5:
Partie A:
Soit f la fonction définie sur [0;10] par f(x) = x+e−x+1.
Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :
a) On a, d’après la ligne 2 du logiciel, f′(x)=−e−x+1 + 1. b) Au vu des variations, la fonction f admet donc un minimum valant 2, il est atteint pour x = 1. |
D’après la ligne 4 du logiciel, f′′(x) = e−x+1. |
Partie B:
Une entreprise fabrique des objets. Sa capacité de production est limitée, compte tenu de l’outil de production utilisé, à mille objets par semaine.
Le coût de revient est modélisé par la fonction f où x est le nombre d’objets fabriqués exprimé en centaines d’objets et f(x) le coût de revient exprimé en milliers d’euros.
La fonction f admet un minimum pour x = 1. |
a) Chaque objet étant vendu 12 euros, le montant obtenu par la vente de x centaines d’objets est donc de (x×100)×12 = 1200×x = (1,2×x)×1000. |
a) g est continue, strictement croissante sur [0 ; 10]. |
La fonction g étant strictement croissante on a: |
Exercice 1:
On considère la fonction f définie sur [1; 11] par f(x) = −0,5x2 + 2x + 15×ln(x).
Question 1: Montrer que : f'(x) = (-x2 + 2x + 15)/x, f' désigne la fonction dérivée de f.
f est dérivable sur [1;11] en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle. |
Signe de f'(x) = signe de: -x2 + 2x + 15. f(5) =−2,5 + 15×ln(5) (≈ 21,54 > 0) et f(11) =−38,5 + 15×ln(11) (≈ -2,53 < 0). |
a) Sur l'intervalle [1; 5], l'équation f(x) = 0 ne possède pas de solution, f est continue et strictement croissante f(x) ≥ f(1) = 1,5 > 0. |
a) La fonction F est dérivable en tant que somme et produits de fonctions dérivables sur [1; 11]. |
Exercice 2:
On considère la fonction f définie sur [0; 10] par f(x) = (2x - 5)e-x+4 + 20.
Question 1: Montrer que, pour tout x de l’intervalle [0;10], f′(x) = (−2x + 7)e-x+4.
f est dérivable sur [0;10] en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle ((u + v)' = u' + v'; (eu)' = u'eu et
(uv)' = u'v + uv'). |
La fonction exponentielle étant positive, le signe de f'(x) dépend du signe de (7 - 2x). f(7/2) = 2e1/2 + 20 ≈ 23,297; f(10) = 15e-6 + 20 ≈ 20,037. |
f(10) > 0 et f(7/2) > 0: donc l'équation f(x) = 0 n'admet pas de solution sur [7/2; 10]. |
a) Si F est une primitive de f alors F'(x) = f(x). |
Exercice 3:
La fonction f est définie sur [0; 5] par:
f(x) = 5xe−x.
On sait que pour tout x réel, e−x > 0. |
F(x) = (−5x − 5)e−x. |
La fonction f est continue et positive. |
Exercice 4:
Une entreprise artisanale produit des parasols. Elle en fabrique entre 1 et 18 par jour.
Le coût de fabrication unitaire est modélisé par une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [1; 18].
On note x le nombre de parasols produits par jour et f(x) le coût de fabrication unitaire exprimé en euros.
Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a tracé la courbe représentative C de la fonction f et la tangente (TA) au point A(5;55).
Le point B(10;25) appartient à la tangente (TA).
On admet que: f(x) = 2x + 5 + 40e−0,2x+1 pour tout x appartenant à l’intervalle [1; 18].
Question 1: a) Déterminer graphiquement la valeur de f ′(5) en expliquant la démarche utilisée.
a) f′(5) correspond au coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a = 5, c’est donc le coefficient directeur de la droite (AB). |
2−8e−0,2x+1 ≥ 0 ⇔ −8e−0,2x+1 ≥ −2. |
Le coût de fabrication est minimal quand f atteint son minimum. |
a) La fonction F est dérivable sur [1;18] en tant que somme de fonctions dérivable sur cet intervalle. |
Exercice 5:
On modélise le nombre de malades (en milliers) en fonction du temps, à l’aide de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 60] par :
f(t) = t2e−0,1t, où t représente le nombre de jours écoulés depuis l’apparition de la maladie.
Pour étudier les propriétés de la fonction f , on a utilisé un logiciel de calcul formel qui a fourni les résultats suivants :
• f′(t) = 0,1t(20−t)e−0,1t;
• f′′(t) = (0,01t2 − 0,4t + 2)e−0,1t;
• F(t)= (−10t2 − 200t − 2000)e−0,1t; où f′ désigne la dérivée de f, f′′ désigne sa dérivée seconde et F une primitive de f .
f′(t) = 2te−0,1t − 0,1t2e−0,1t = 0,1t(20 − 0,1t)e−0,1t |
a) Pour tout réel t, e−0,1t > 0; et t ≤ 0 car t ∈ [0;60]. |
a) La fonction F est une primitive de la fonction f donc: |
a) On étudie le signe de f′′(x): f′′(t) = (0,01t2 − 0,4t + 2)e−0,1t |