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Conseils:
⚠Les exercices ciblent les connaissances et savoir-faire indispensables.⚠
Afin de vous aider à préparer les devoirs et examens, les corrections sont détaillées.
Ne vous contentez pas de lire la correction, adoptez une attitude active: faites l'exercice et vérifiez vos résultats.
N'oubliez pas de revoir votre cours avant d'aborder les exercices.
Second degré:
Exercice 1:
Question 1: Résoudre dans ℝ les équations suivantes:
a) x2 + 4x + 15 = 0;
b) -x2 - 3x + 4 = 0;
c) x2 - x - 2 = 0;
d) -2x2 + 4x - 2 = 0.
Correction:
a) Δ = b2 - 4a×c = - 44 < 0.
L'équation n'admet donc pas de solution;
b) Δ = b2 - 4a×c = 25 = 52.
L'équation admet deux solutions distinctes:
• x1 = (-b - √Δ)/(2a) = (3 - 5)/(-2) = 1 et
• x2 = (-b + √Δ)/(2a) = (3 + 5)/(-2) = -4.
c) Δ = b2 - 4a×c = 9 = 32.
L'équation admet deux solutions disitinctes:
• x1 = (-b - √Δ)/(2a) = (1 - 3)/2 = -1 et
• x2 = (-b + √Δ)/(2a) = (1 + 3)/2 = 2.
d) Δ = b2 - 4a×c = 0.
L'équation admet une seule racine:
x0 = -b/(2a) = -4/(-4) = 1.
Question 2: Donner la forme factorisée:
a) f(x) = x2 + 4x + 15;
b) g(x) = -x2 - 3x + 4;
c) h(x) = x2 - x - 2;
d) k(x) = -2x2 + 4x - 2.
Correction:
a) Δ < 0: le polynôme f n'est pas factorisable dans ℝ.
b) Δ = 52 et x1 = -4 et x2 = 1.
g admet deux racines réelles distinctes, on a:
g(x) = a(x - x1)(x - x2) = -1(x + 4)(x - 1).
c) Δ = 32 et x1 = -1 et x2 = 2.
h admet deux racines réelles distinctes, on a:
h(x) = a(x - x1)(x - x2) = 1(x + 1)(x - 2).
d) Δ = 0 et x0 = 1.
k admet une racine, on a:
k(x) = a(x - x0)2 = -2(x - 1)2.
Question 3:Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes:
a) x2 + 4x + 15 < 0;
b) -x2 - 3x + 4 ≥ 0;
c) x2 - x - 2 > 0;
d) -2x2 + 4x - 2 < 0.
Correction:
a) Δ = b2 - 4a×c = - 44 < 0. Alors (x2 + 4x + 15) est toujours du signe de a.
On a: a = 1 > 0.
Il n'y a pas de solution: S = ∅.
b) Δ = 52 et x1 = -4 et x2 = 1. (le signe de a à l'extérieur des racines et -le signe de a à l'intérieur des racines)
On a: a = -1 < 0.
L'ensemble des solutions de l'inéquation (-x2 - 3x + 4 ≥ 0) est donc:
S = [-4; 1].
c) Δ = 32 et x1 = -1 et x2 = 2. (le signe de a à l'extérieur des racines et -le signe de a à l'intérieur des racines)
On a: a = 1 > 0.
L'ensemble des solutions de l'inéquation (x2 - x - 2 > 0) est donc:
S = ]-∞; -1[ ∪ ]2; +∞[.
d) Δ = 0 et x0 = 1. (signe de a, sauf pour la valeur qui annule le polynôme)
On a: a = -2 < 0.
L'ensemble des solutions de l'inéquation (x2 - x - 2 > 0) est donc:
S = ℝ ∖ {1}.
Exercice 2:
Objectif: Etudier les variations des fonctions du second degré suivantes définies sur ℝ par:
a) f(x) = x2 - 2x + 11;
b) g(x) = -2x2 + 20x - 48;
c) h(x) = 3x2 + 1/3;
d) k(x) = -2x2 - 12x - 23.
Question 1: Calculer les coefficients α et β de la forme canonique de chacune de ces fonctions:
Correction:
a) a = 1; b = -2 et c = 11.
α = -b/(2a) = 2/2 = 1 et β = f(α) = f(1) = 10.
La forme canonique de f est:
f(x) = a(x - α)2 + β = 1(x - 1)2 + 10.
b) a = -2; b = 20 et c = -48.
α = -b/(2a) = 20/4 = 5 et β = f(α) = f(5) = 2.
La forme canonique de g est:
g(x) = a(x - α)2 + β = -2(x - 5)2 + 2.
c) a = 3; b = 0 et c = 1/3.
α = -b/(2a) = 0 et β = f(α) = f(0) = 1/3.
La forme canonique de h est:
h(x) = a(x - α)2 + β = 3(x - 0)2 + 1/3.
d) a = -2; b = -12 et c = -23.
α = -b/(2a) = 12/(-4) = -3 et β = f(α) = f(-3) = -5.
La forme canonique de k est:
k(x) = a(x - α)2 + β = -2(x + 3)2 - 5.
Question 2: En déduire les variations de ces fonctions:
Correction:
a) a = 1 > 0, f admet un minimum en x = 1 égal à 10.
La parabole représentative de la fonction f admet pour sommet le point S de coordonnées: S(α; β) soit S(1; 10).
f est strictement décroissante sur ]-∞; 1[ et strictement croissante sur ]1; +∞[.
b) a = -2 < 0, g admet un maximum en x = 5 égal à 2.
La parabole représentative de la fonction g admet pour sommet le point S de coordonnées: S(α; β) soit S(5; 2).
g est strictement croissante sur ]-∞; 5[ et strictement décroissante sur ]5; +∞[.
c) a = 3 > 0, h admet un minimum en x = 0 égal à 1/3.
La parabole représentative de la fonction h admet pour sommet le point S de coordonnées: S(α; β) soit S(0; 1/3).
h est strictement décroissante sur ]-∞; 0[ et strictement croissante sur ]0; +∞[.
d) a = -2 < 0, k admet un maximum en x = -3 égal à -5.
La parabole représentative de la fonction k admet pour sommet le point S de coordonnées: S(α; β) soit S(-3; -5).
k est strictement croissante sur ]-∞; -3[ et strictement décroissante sur ]-3; +∞[.
Exercice 3:
Soit P la parabole représentant la fonction f définie pour tout réel x par
f(x) = -x2 + 2x + 3. Question 1: Vérifier que, pour tout réel x, f(x) = -(x - 1)2 + 4.
En déduire les coordonnées du sommet S de la parabole P.
Correction:
-(x - 1)2 + 4 = -x2 + 2x - 1 + 4 = -x2 + 2x + 3 = f(x).
La forme canonique de f(x) est donc:
f(x) = a(x - α)2 + β = -(x - 1)2 + 4.
On a: α = 1 et β = f(α) = 4, donc les coordonées du sommet S sont:
S(α; β) soit S(1; 4).
Question 2: Déterminer les coordonnées des points d'intersection de P avec l'axe des abscisses.
Correction:
Trouver les abscisses des points d'intersection de P avec l'axe des abscisses revient à résoudre l'équation suivante:
f(x) = 0 ⇔ -x2 + 2x + 3 = 0.
a = -1; b = 2 et c = 3 d'où Δ = 16 = 42 > 0.
x1 = (-2 + 4)/(-2) = -1 et x2 = (-2 - 4)/(-2) = 3.
P coupe l'axe des abscisses aux points A(-1; 0) et B(3; 0).
Question 3: Déterminer la position de P par rapport à l'axe des abscisses.
Correction:
Pour étudier la position de P par rapport à l'axe des abscisses, on étudie le signe de f(x).
Les solutions de f(x) = 0 sont: x1 = -1 et x2 = 3.
On sait que le signe de a (a = -1 < 0) est à l'extérieur des racines et le signe de (-a) à l'intérieur des racines.
Conclusion:
• x ∈ ]-∞;-1[ ∪ ]3; +∞[, f(x) < 0: la parabole est en-dessous de l'axe des abscisses.
• x ∈ [-1; 3], f(x) ≥ 0: la parabole est au-dessus de l'axe des abscisses.
Exercice 4:
Une entreprise commercialise 3 à 100 tonnes de peinture par mois.
après la vente de x tonnes de peinture (x compris entre 3 et 100), le bénéfice réalisé est, en euros:
B(x) = -10x2 + 900x - 2610.
Question 1: Déterminer le nombre de tonnes de peinture que l'entreprise doit vendre en un mois pour réaliser un bénéfice.
Correction:
L'entreprise réalise un bénéfice, on doit donc résoudre l'inéquation suivante:
B(x) ≥ 0.
B(x) = -10x2 + 900x - 2610, a = -10; b = 900 et c = -2610.
D'où Δ = 705600 = 8402 > 0, 2 racines réelles distinctes:
x1 = (-900 - 840)/(-20) = 87 et x2 = (-900 + 840)/(-20) = 3.
On sait que le signe de a (a = -10 < 0) est à l'extérieur des racines et le signe de (-a) à l'intérieur des racines.
Donc B(x) ≥ 0 si x ∈ [3; 87]: pour réaliser un bénéfice, l'entreprise doit vendre entre 3 et 87 tonnes de peinture.
Question 2: Déterminer le nombre de tonnes de peinture à vendre pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximal.
Calculer ce bénéfice.
Correction:
B(x) = -10x2 + 900x - 2610.
a = -10 < 0; la fonction B présente un maximum:
α = -b/(2a) = -900/(-20) = 45 et B(α) = B(45) = 17640;
B est croissante sur [3; 45] et B est décroissante sur
[45; 87].
Le bénéfice maximal réalisable par l'entreprise est de 17640 euros.
Exercice 5:
Question 1: Montrer que si deux nombres ont pour somme b et pour produit c, ils sont solutions de l'équation:
x2 - bx + c = 0.
Correction:
Soient x1 et x2 ces deux nombres.
x1 + x2 = b et x1×x2 = c.
x1 = b - x2 et (b - x2)×x2 = c
(b - x2)×x2 = c ⇔ b×x2 - x22 = c
bx2 - x22 - c = 0 donc x22 - bx2 + c = 0.
Conclusion: x2 est solution de l'équation x2 - bx + c = 0 (de même x1 est solution car x1 et x2 jouent le même rôle).
Question 2: En déduire les dimensions d'un champ rectangulaire d'aire 52500m2 et de périmètre 1000m.
Correction:
Aire rectangle = longueur×largeur et Périmètre = 2×(longueur + largeur)
(L = longueur et l = largeur).
Donc L×l = 52500 et 2(L + l) = 1000 soit (L + l) = 500
d'où x2 - 500x + 52500 = 0 et d'après la 1ère question L et l sont solutions de cette équation.
a = 1; b = -500 et c = 52500 d'où Δ = 40000 = 2002 > 0.
Deux racines réelles disitinctes: L = (500 + 200)/2 = 700/2 = 350 et
l = (500 - 200)/2 = 300/2 = 150.
Conclusion: Les dimensions de ce champ sont: longueur = 350m et largeur = 150m.
Pourcentages:
Exercice 1:
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
Question 1: Une librairie-papeterie accorde aux détenteurs de leur carte de fidélité, une réduction de 5% sur les livres et 15% sur la papeterie.
Un client fidèle achète pour A euros de livres et B euros de papeterie.
Ecrire un algorithme qui donne le pourcentage de remise accordée à ce client.
Correction:
A euros de livres et B euros de papeterie.
On pose : X = A + B = ancien prix et Y = 0,95×A + 0,85×B = nouveau prix.
Soit t% le pourcentage de remise accordée au client.
X - (X×t)/100 = X(1 - t/100) = Y ⇔ 1 - t/100 = Y/X
⇔ 1 - Y/X = t/100 d'où t = 100(1 - Y/X)
Question 2: Ecrire un algorithme qui a comme entrée la valeur initiale et la valeur finale d'une grandeur et qui donne en sortie le taux de variation, en
précisant si c'est une réduction ou une augmentation.
Correction:
Soient I la valeur initiale et F la valeur finale.
I + (I×t)/100 = F ⇔ I(1 + t/100) = F
⇔ 1 + t/100 = F/I ⇔ t/100 = (F/I - 1) = (F - I)/I.
D'où t= 100(F - I)/I.
On doit discuter sur le signe de t: si t > 0 alors c'est une augmentation sinon c'est une réduction.
Exercice 2:
Le gouvernement d'un pays décide de diminuer les impôts de 30% en trois ans.
Question 1: Ce gouvernement diminue les impôts de 20%la première année et de 10% la seconde année.
Quelle est la baisse, en pourcentage, des impôts au bout des deux premières années?
Correction:
Le coefficient multiplicateur correspondant aux deux baisses successives est: 0,8×0,9 = 0,72.
Cela correspond à une baisse de 28%.
Question 2: Quel doit être le pourcentage de baisse appliquée la troisième année pour que ce gouvernement atteigne sont objectif?
Correction:
La baisse au bout de deux ans est de 28%.
(1 - 28/100)×(1 - t/100) = (1 - 30/100)
⇔ 0,72×(1 - t/100) = 0,7
1 - t/100 ≈ 0,972 donc t/100 ≈ 0,0278 soit t ≈ 2,78.
Conclusion: la baisse d'impôts correspond à 2,78% la troisième année.
On suppose maintenant que le but est bien atteint au bout de trois ans.
Question 3: Ce gouvernement décide de rétablir les impôts à leur niveau initial.
Quel pourcentage d'augmentation doit-il appliquer aux impôts?
Correction:
Si une grandeur subit une évolution de t%, alors le taux d'évolution réciproque qui permet de retrouver la valeur initiale est t'% tel que:
1 + t'/100 = 1/(1 + t/100).
1 + t'/100 = 1/(1 - 30/100) = 1/0,70 ≈ 1,43
⇔ t'/100 ≈ 0,43 soit t' ≈ 43.
Conclusion: Pour retrouver le niveau initial, il faut augmenter de 43% les impôts.
Question 4: Ce gouvernement décide de rétablir les impôts à leur niveau initial en deux ans, en appliquant le même pourcentage d'augmentation chacune des deux
années.
Quel pourcentage d'augmentation annuel le gouvernement doit-il appliquer pendant ces deux années?
Correction:
1 + t'/100 ≈ 1,43 (d'après la question 3).
On a: (1 + t/100)×(1 + t/100) = (1 + t/100)2 ≈ 1,43.
D'où (1 + t/100) ≈ √1,43 ≈ 1,196.
t/100 ≈ 0,196 donc t ≈ 19,6.
Conclusion: L'augmentation annuelle des impôts doit être de 19,6% pendant deux ans.
Exercice 3:
Les trois questions sont indépendantes.
Question 1: Après deux diminutions successives: la première de 8%, la seconde de 12% , le prix d’un produit est de 725,76 euros.
Calculer le prix initial du produit.
Correction:
Soit P0 le prix initial et P1 le prix final, P1 = 725,76.
P0×(1 - 8/100)×(1 - 12/100) = P1 ⇔ P0×0,8096 = 725,76.
Donc P0 ≈ 896,44.
Conclusion: Le prix initial était de 896,44 euros.
Question 2: De 1987 à 1993, la population d’une ville a augmenté de 10,3% et de 1993 à 1999, elle a diminué de 9%.
Quel est le pourcentage d’évolution de cette population entre 1987 et 1999 ?
Correction:
Le coefficient global est:
(1 + 10,3/100)×(1 - 9/100) = 1,00373.
Donc 1 + t/100 = 1,00373 soit t/100 = 0,00373 donc t = 0,373%.
Globalement la population a augmenté de 0,373%
Question 3: Un capital de 12000 euros au 1er Janvier 2000 subit chaque mois de l’année 2000 une hausse de 1 %.
a) Par quel nombre est-il multiplié chaque mois ?
b) Quel est le montant du capital au 1er Janvier 2001 ?
Correction:
a) Chaque mois, le coeficient multiplicateur est: (1 + 1/100) = 1,01.
b) Dans un an (soit 12 mois), le capital sera:
(1 + 1/100)12×12000 = 1,0112×12000 = 13521,90.
Dans un an le capital sera de 13521,90 euros.
Exercice 4:
Pour chacune des propositions, déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse.
Proposition 1: Le prix d’un article diminue de 60 % puis augmente de 60 %.
Le prix final est donc identique au prix initial.
Correction:
Soit P0 = prix initial, P1 le prix suite à la diminution et P2 le prix suite à l'augmentation.
P1 = (1 - 60/100)×P0
P2 = (1 + 60/100)×P1
On obtient P2 = (1 + 60/100)×(1 - 60/100)×P0
⇔ P2 = 1,6×0,4×P0 = 0,64×P0.
1 - t/100 = 0,64 ⇔ t/100 = 0,36 donc t = 36%, ce qui correspond à une baisse de 36%. Affirmation 1 fausse.
Enoncé commun pour les propositions 2 et 3.
Le montant d’un loyer de 1 600 euros subit deux évolutions successives : une hausse de 25 % puis une baisse de 15%.
Proposition 2: Le nouveau montant du loyer est donc de 1 700 euros.
Proposition 3: Le taux d’évolution global est après ces deux évolutions est de +10 %.
Correction:
On sait que le coefficient multiplicateur est: 1,0625.
Cherchons le taux:
1 + t/100 = 1,0625 ⇔ t/100 = 0,0625 soit t = 6,25.
Le taux d'évolution global est de 6,25% et non 10%. Affirmation 3 fausse.
Début septembre 2014, monsieur Martin place 7000 euros sur un livret A qui est rémunéré, depuis le 1er août 2014, à 1% (par an).
Proposition 4: Après 10 années de placement, il aura environ 7732,35 euros sur ce compte.
Correction:
Le coefficient multiplicateur annuel est: (1 + 1/100) = 1,01.
7000×1,0110 ≈ 7732,35.
Dans 10 ans, il aura sur son livret la somme de 7732,35 euros. Affirmation 4 vraie.
Proposition 5: Après une hausse de t% sur un prix, pour revenir au prix initial il faut effectuer une baisse de 1/(1 + t/100). .
Correction:
Soit P0 le prix initial.
Le taux d'évolution réciproque qui permet de retrouver P0 est t'% et on a:
1 + t'% = 1/(1 + t%) ⇔ t'% = 1/(1 + t%) - 1. Affirmation fausse.
Exercice 5:
On étudie l'évolution de la population d'une ville durant cinq annés consécutives.
La première année, la population augmente de 2%; la croissance de la population augmente d'un point chaque année, pour atteindre 6% la cinquième année.
Question 1: Quelle est la croissance globale en pourcentage sur les cinq années?
Correction:
La première année, elle augmente de 2%: coefficient multiplicateur: 1,02.
La seconde année, elle augmente de 3%: coefficient multiplicateur: 1,03.
La troisième année, elle augmente de 4%: coefficient multiplicateur: 1,05.
La quatrième année, elle augmente de 5%: coefficient multiplicateur: 1,05.
La cinquième année, elle augmente de 6%: coefficient multiplicateur: 1,06.
Le coefficient multiplicateur global est:
1,02×1,03×1,04×1,05×1,06 ≈ 1,216.
Donc 1 + t/100 = 1,216 ⇔ t/100 = 0,216 donc t = 21,6.
Conclusion: Sur cinq ans, la population a augmenté de 21,6%.
Question 2: Quel est le pourcentage annuel moyen d'évolution sur les cinq années, c'est à dire le pourcentage d'évolution qui, appliqué sur les cinq années
consécutives, donne la même évolution globale que celle constatée?
Correction:
La population augmente régulièrement de t% par an:
(1 + t/100)5 = 1,216 ⇔ 1 + t/100 = 1,2161/5 ≈ 1,0399.
d'où t/100 ≈ 0,0399 donc t ≈ 3,99.
Conclusion: Le pourcentage annuel moyen d'augmentation sur les cinq années est d'environ 3,99%.
Statistiques:
Exercice 1:
Un examen a permis à 100 candidats de se présenter et chacun a obtenu une note entière comprise entre 0 et 20.
Pour être reçu, un candidat doit avoir une note supérieure ou égale à 10.
• La moyenne des 100 notes est 10;
• La médiane 12;
• L'étendue 18.
Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
Question 1: Si une des notes est 20, il n'y a pas de 0.
Correction:
L'affirmation est vraie: en effet l'étendue vaut 18, si la note minimale est 0 et la note maximale est 20 alors:
e = 20 - 0 ≠ 18..
Question 2: Il y a exactement 45 reçus à l'examen.
Correction:
La médiane vaut 12, cela veut dire qu'environ 50% des candidats ont une note supérieure ou égale à 12.
Exercice 2:
On a interrogé les 250 élèves de première d'un lycée sur leur nombre de frères et sœurs.
Voici les résultats :
Nombre
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Effectifs
80
90
46
20
8
3
1
1
1
Question 1: Compléter ce tableau avec les fréquences et fréquences cumulées croissantes.
Correction:
Nombre
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Effectifs
80
90
46
20
8
3
1
1
1
Fréquences (%)
32
36
18,4
8
3,2
1,2
0,4
0,4
à,4
Fréquences cumulées croissantes
32
68
86,4
94,4
97,6
98,8
99,2
99,6
100
Question 2: Quel pourcentage d'élèves ont trois frères et soeurs ou moins?
Correction:
Le pourcentage d'élèves ayant trois frères et soeurs ou moins est de 94,4%.
Question 3: Déterminer la médiane de la série, puis le premier et le troisième quartile.
Exprimer par une phrase les informations données par ces indicateurs.
Correction:
• Médiane: N/2 = 125; la médiane Me est la demi-somme entre la 125ième et la 126iéme, soit (1 + 1)/2 et Me =
1;
• Premier Quartile: Q1 = 62,5; Q1 est la 63ième valeur, soit Q1 = 0;
• Troisième Quartile: Q3 = 187,5, Q3 est la 188ième valeur, soit Q3 = 2. Conclusion:
• Environ la moitié des élèves ont au plus un frère ou une soeur;
• Environ les trois-quarts des élèves ont plus de 2 frères ou soeurs.
Exercice 3:
Un apiculteur fait le bilan en 2015 de la production de miel de ses ruches.
Pour chacune d’elles, il note la quantité de miel produite (en kg).
Il obtient les résultats suivants :
Production de miel en kg
18
20
21
22
23
24
26
28
Nombre de ruches
2
4
4
3
1
3
1
3
Question 1: Déterminer la médiane et les quartiles de cette série.
Correction:
• L’effectif total est de 21 qui est impair; la médiane est donc la 11ème valeur, soit Me = 22.
• N/4 = 5,25 donc le 1er quartile est la 6ème valeur, soit Q1 = 20.
• 3N/4 = 15,75 donc le 3ème quartile est la 16ème valeur, soit Q3 = 24.
Question 2: Construire le diagramme en boîte de cette série.
Correction:
Question 3: Calculer la production moyenne par ruche (arrondir à 0,1 près).
Correction:
x̄ = (18×2 + 20×4 + ... + 26×1 + 28×3)/(2 + 4 + ... + 1 + 3) x̄ = 471/21.
Soit x̄ ≈ 22,4
La production moyenne de miel est de 22,4 kg.
Question 4: Déterminer l'écart type σ de cette série (arrondir au centième près).
Correction:
• V = [2×(18 - x̄)2 + 4×(20 - x̄)2 + ... + 1×(26 - x̄)2 + 3×(28 - x̄)2]/21
V ≈ 185,16/21 ≈ 8,82.
• L'écart type est: σ = √V ≈ 2,97.
Question 5: Déterminer le pourcentage de ruches dont la production appartient à l'intervalle [x̄ - σ; x̄ + σ] (arrondir à l'unité près).
Correction:
I = [x̄ - σ; x̄ + σ] = [19,43; 25,37].
Il y a 15 (= 4 + 4 + 3 + 1 + 3) ruches dans l'intervalle I, soit 15/21 ≈ 0,714 soit 71% (arrondi à l'unité).
71% des ruches ont leur production dans l'intervalle I.
Exercice 4:
Une entreprise, qui fabrique du chocolat, fabrique des tablettes de 100 grammes.
Au début de l'année 2016, elle prélève un échantillon dans sa production afin d'en vérifier la masse.
Les résultats sont notés dans le tableau ci-dessous:
Masse en g
96
97
98
99
100
101
102
103
Effectifs
5
6
9
13
32
16
5
4
Question 1: Calculer la moyenne μ exprimée en grammes, des tablettes de cet échantillon.
Question 2: Déterminer la médiane et les quartiles de l'échantillon 2016
Correction:
• Médiane: N/2 = 45 la médiane est la moyenne de la somme de la 45ième et de la 46ième valeur:
Me = (100 + 100)/2 = 100;
• Premier Quartile: N/4 = 22,5 on prend la 23ième valeur soit Q1 = 99;
• Troisième Quartile: 3N/4 = 67,5 on prend la 68ième valeur soit Q3 = 101.
Un échantillon de même taille a été prélevé fin 2015, son diagramme en boîte ce trouve
ci-dessous:
Question 3: Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses?
a) En fin 2015, environ trois quarts des tablettes de chocolat avaient une masse supérieure à 98 grammes.
b) L'écart interquartile a été réduit de plus de la moitié entre fin 2015 et début 2016.
c) Le consommateur qui achète des tablettes produites par cette entreprise en fin 2015 peut se sentir lésé.
Correction:
a) L'affirmation est fausse car la médiane vaut 98 grammes.
Donc 50% environ des tablettes ont une masse supérieure à 98 grammes.
b) Ecart interquartile 2015: Q3 - Q1 = 101,5 - 97 = 4,5.
Ecart interquartile 2016: Q3 - Q1 = 101 - 99 = 2.
Donc l'affirmation est vraie.
c) L'affirmation est vraie car environ la moitié des tablettes ont une masse inférieure à 98 grammes.
Exercice 5:
Voici la répartition du nombre du buts marqués par match lors d'une compétition de football en 2015:
Nombre de buts
0
1
2
3
4
5
6
7
Nombre de matchs
7
17
13
14
7
5
0
1
Question 1: Calculer le nombre moyen de buts par match puis la variance V.
Correction:
• m = (0×7 + 1×17 + 2×13 + ... + 6×0 + 7×1)/64
m = 145/64
Le nombre moyen de buts par match est: m asymp; 2,27.
• V = [7×(0 - 2,27)2 + 17×(1 - 2,27)2 + ... + 0×(6 - 2,27)2 + 1×(7 - 2,27)2]/64
V = 152,4856/64
V ≈ 2,38.
Question 2: En déduire l’écart-type σ.
Correction:
V ≈ 2,38
L'écart type est: σ = √V
σ ≈ 1,54.
Question 3: Quel est le pourcentage de matchs pour lesquels le nombre de buts est compris entre m − σ et m + σ?
Correction:
L'intervalle I = [m - σ; m + σ] ≈ [0,73; 3,81].
Le nombre de matchs dont le nombre de buts est compris entre 1 et 3 est: 17 + 13 + 14 = 44.
Le nombre total de matchs étant de 64, le pourcentage de matchs est:
44/64×100 = 68,75.
Donc le pourcentage de matchs pour lesquels le nombre de buts appartient à I est égal à 68,75%.
Nombre dérivé et tangente:
Exercice 1:
On a tracé Cg, la courbe représentative de la fonction g définie sur ℝ ainsi que la tangente à Cg aux points C et D d’abscisses respectives 0 et 1.
Représentation graphique:
Question 1: Lecture du nombre dérivé : g'(0) = ... .
Correction:
Le coefficient directeur est positif donc g'(0) > 0; de plus g'(0) = Δy/Δx = 1/1 = 1.
Question 2: Équation de T0, la tangente à Cg en C(0; 1): T0: y = ··· ·
Correction:
T0: y = g'(0)(x - 0) + g(0) = x + 1.
Une équation de la tangente au point d'abscisse 0 est: y = x + 1.
Question 3: Lecture du nombre dérivé: g′(1) = ... .
Correction:
Le coefficient directeur est négatif donc g'(1) < 0; de plus g'(1) = Δy/Δx = (-2)/1 = -2.
Question 4: Équation de T1, la tangente à Cg en D(1; 0): T1: y = ... .
Correction:
T1: y = g'(1)(x - 1) + g(1) avec g'(1) = -2 et g(1) = 0.
y = -2(x - 1) + 0 = -2x + 2.
Une équation de la tangente au point d'abscisse 1 est : y = -2x + 2.
Exercice 2:
Soit f la fonction définie sur ℝ par:
f(x) = 2x2 − 3x – 2.
Question : Démontrer que f est dérivable en 2.
Justifier en utilisant le taux d'accroissement.
Donner alors le nombre dérivé en 2.
Question 2: En déduire le nombre dérivé de f en a.
Correction:
tf(h) = 2a + h - 3.
limh→0tf(h)= limh→0(2a + h - 3) = 2a - 3.
Cette limite est finie, donc f est dérivable en a et f'(a) = 2a - 3.
Exercice 4:
On considère la fonction f définie sur ℝ par:
f(x) = x2 − 3x + 1.
Question 1: Démontrer que l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point A(a;f(a)) est donnée par:
y = (2a−3)x − a2 + 1.
Correction:
On sait que: (voir exercice 3)
tf(h) = 2a + h - 3 et limh→0tf(h)= limh→0(2a + h - 3) = 2a - 3.
D'où f'(a) = 2a - 3.
L'équation de la tangente au point d'abscisse a est:
y = f'(a)(x - a) + f(a), avec f'(a) = 2a - 3 et f(a) = a2 - 3a + 1.
y = (2a - 3)(x - a) + a2 - 3a + 1
⇔ y = (2a - 3)x - 2a2 + 3a + a2 - 3a + 1
⇔ y = (2a - 3)x - a2 + 1.
Question 2: Existe-t-il un point pour lequel la tangente est parallèle à la droite d’équation
y = x?
Correction:
La droite y = 1x a pour coefficient directeur m = 1 et la tangente a pour coefficient directeur f'(a).
Si deux droites sont parallèles alors elles ont le même coefficient directeur:
Donc f'(a) = 1 soit 2a - 3 = 1 ⇔ 2a = 4
⇔ a = 2.
La tangente passant par le point A(2; f(2)) (avec f(2) = -1) est parallèle à la droite d'équation y = x; cette tangente a pour équation:
y = x - 3.
Question 3: Existe-t-il un point pour lequel la tangente passe par l’origine du repère ?
Correction:
Si la tangente passe par l'origine alors les coordonnées de O(0; 0) vérifient l'équation de cette dernière:
O ∈ T, alors (2a - 3)×0 - a2 + 1 soit a2 = 1
d'où a = -1 ou a = 1.
Il existe deux point B(-1; f(-1)) et C(1; f(1)) pour lesquels la tangente passe par l'origine du repère O.
• a = -1: B(-1; 5) et TB a pour équation: y = -5x;
• a = 1: C(1; -1) et TC a pour équation: y = -x.
Exercice 5:
Soit f la fonction définie sur ]1;+∞[ par: f(x) = 2x/(x−1).
Question 1: En utilisant la définition, montrer que le nombre dérivé de f en 2 est f′(2) = −2.
Question 2: Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point A d'abscisse 2.
Correction:
L'équation de la tangente au point d'abscisse a =2 est:
y = f'(a)(x - a) + f(a) = f'(2)(x - 2) + f(2), avec f'(2) = -2 et f(2) = 4.
y = -2(x - 2) + 4
⇔ y = -2x + 4 + 4
⇔ y = -2x + 8.
Une équation de la tangente au point d'abscisse a = 2 est: y = -2x + 8.
Dérivées et applications:
Exercice 1:
f définie
sur I = [2; 10]
par:
f(x) = 1/x
g(x) = x2 - 1
h(x) = x5 + 8/7
k(x) = √(x) + 10
l(x) = 6 - x/5
m(x) = x3/3 - 1
Dérivées
...
...
...
...
...
...
Question : Donner directement et sans justification la dérivée des fonctions suivantes sur l’intervalle I:
Correction:
f définie
sur I = [2; 10]
par:
f(x) = 1/x
g(x) = x2 - 1
h(x) = x5 + 8/7
k(x) = √(x) + 10
l(x) = 6 - x/5
m(x) = x3/3 - 1
Dérivées
f'(x) = -1/x2
g'(x) = 2x
h'(x) = 5x4
k'(x) = 1/[2√(x)]
l'(x) = -1/5
m'(x) = x2
Exercice 2:
On donne ci-dessous un tracé de la courbe représentative C d’une fonction f définie sur [-1; 3].
La droite (T) tracée est la tangente à C au point d’abscisse 1.
Aux points d’abscisses 0 et 2 les tangentes à C sont parallèles à l’axe des abscisses.
Question 1: Déterminer, à l’aide du graphique, les valeurs de f'(0), f'(1) et f'(2).
Question 2: En déduire les équations réduites des tangentes à C aux points d’abscisses 0 ; 1 et 2.
Correction:
• Tangente au point d'abscisse a = 0: y = 1.
• Tangente au point d'abscisse a = 2: y = -3;
• Tangente au point d'abscisse a = 1:
y = mx + p, m = coefficient directeur = f'(1) et p = ordonnée à l'origine = 2
donc y = -3x + 2.
Une équation de la tangente passant par le point d'abscisse a = 1 est:
y = -3x + 2.
Question 3: On admet, pour la suite, que f est la fonction définie sur [–1; 3] par:
f(x) = x3 – 3x2 + 1.
a) Calculer sa dérivée et retrouver, par le calcul, les résultats des questions 1 et 2.
b) Etudier le signe de f ’(x) ; vérifier graphiquement le résultat.
Correction:
a) f est définie et dérivable sur [-1; 3].
f'(x) = 3x2 - 6x = 3x(x - 2).
• f'(x) = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 2 (un produit de facteur est nul si l'un de ses facteurs est nul;
• f'(1) = 3×(1)2 - 6×1 = 3 - 6 = -3.
• Tangente au point d'abscisse a = 0:
y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 0×(x - 0) + 1 = 1;
• Tangente au point d'abscisse a = 2:
y = f'(2)(x - 2) + f(2) = 0×(x - 2) - 3 = -3 (f(2) = 23 - 3×22 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3);
• Tangente au point d'abscisse a = 1:
y = f'(1)(x - 1) + f(1), avec f(1) = -1 et f'(1) = -3 (f(1) = 13 - 3×12 + 1 = -1;
y = -3(x - 1) - 1 = -3x + 3 - 1 = -3x + 2.
b) f'(x) = 3x(x - 2) = 3x2 - 6x.
On détermine le signe de f'(x): équation du second degré a = 1 > 0 et
f'(x) = 0 si x = 0 ou si x = 2.
Le signe de a à l'extérieur des racines et signe de (-a) à l'intérieur des racines.
• f'(x) ≥ 0 si x ∈ [-1; 0] ∪ [2; 3];
• f'(x) < 0 si x ∈ ]0; 2[.
• f est croissante sur [-1; 0] ∪ [2; 3];
• f est strictement décroissante sur ]0;2[.
Exercice 3:
On considère la fonction f définie par:
f(x) = 3x/(x + 2).
Question 1: Déterminer l'ensemble de définition de f.
Correction:
x + 2 = 0 ⇔ x = −2.
Donc Df = ]−∞; −2[ ∪ ]−2; +∞[.
Question 2: a) Calculer la dérivée f' de la fonction f.
b) Étudier le sens de variation de f.
Correction:
a) Pour tout x ≠ −2, (forme u/v et (u/v)' = [u'v - v'u]/v2).
On pose:
• u(x) = 3x et u'(x) = 3;
• v(x) = x + 2 et v'(x) = 1.
f'(x) = [3(x + 2) - 3x×1]/(x + 2)2 = [3x + 6 - 3x]/(x + 2)2
f'(x) = 6/(x + 2)2.
b) Pour tout x ≠ −2, f'(x) > 0 donc f est strictement croissante sur ]−∞; −2[ et sur ]−2; +∞[.
Question 3: Donner l'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0.
Correction:
L'équation de la tangente au point d'abscisse a = 0:
y = f'(0)(x – 0) + f(0), avec f'(0) = 6/4 = 3/2 et f(0) = 0.
Ainsi y = (3/2)x.
Une équation de la tangente au point d'abscisse a = 0 est: y = (3/2)x.
Exercice 4:
On considère la fonction B, définie sur [0 ; 100] par:
B(x) = −0,05x2 + 5x – 80, qui défini le bénéfice en milliers d'euros d'une entreprise pour la vente de x milliers d'objets.
Question 1: Déterminer la dérivée B' de la fonction B.
Correction:
Pour tout x ∈ [0 ; 100], B'(x) = −0,1x + 5.
Question 2: a) Donner le sens de variation de la fonction B.
b) En déduire le nombre d'objets à produire pour que le bénéfice soit maximal.
Donner la valeur de ce bénéfice maximal.
Correction:
a) B'(x) = 0 ⇔ -0,1x + 5 = 0 ⇔ x = 50. Etude du signe de B':
B'(x) ≥ 0
⇔ −0,1x + 5 ≥ 0
⇔ 0,1x ≤ 5
⇔ x ≤ 50.
• B'(x) ≥ 0 si x ∈ [0; 50];
• B'(x) < 0 si x ∈ ]50; 100[. Variation de la fonction B:
• La fonction B est croissante sur [0; 50];
• la fonction B est strictement décroissante sur ]50; 100[.
b) Pour que le bénéfice soit maximal, il faut produire 50000 objets.
Ce bénéfice maximal est alors de 45000 Euros.
Question 3: Déterminer la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (c'est-à-dire résoudre B(x)>0).
Correction:
B(x) > 0 ⇔ −0,05x2 + 5x – 80 > 0.
Δ = 52 – 4×(−0,05)×(−80) = 9 = 32: 2 solutions distinctes:
x1 = 20 et x2 = 20.
La plage de production qui permet de réaliser un bénéfice est l'intervalle ]20; 80[.
Il faut produire plus de 20000 et moins de 80 000 objets pour réaliser un bénéfice positif.
Exercice 5:
Une entreprise fabrique un produit.
La production mensuelle ne peut pas dépasser 15 000 articles.
Le coût total, exprimé en milliers d’euros, de fabrication de x milliers d’articles est modélisé par la fonction C définie sur ]0; 15] par:
C(x) = 0,5x2 + 0,6x + 8,16.
La représentation graphique Γ de la fonction coût total est donnée ci-dessous:
On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8 euros.
Question 1: Qu’est ce qui est plus avantageux pour l’entreprise fabriquer et vendre 4 000 articles ou fabriquer et vendre 12 000 articles ?.
Correction:
• Montant du bénéfice que l'entreprise peut obtenir si elle vend 4 milliers d'articles:
Le coût total exprimé en milliers d'euros pour la fabrication de 4 milliers d'articles est:
C(4) = 0,5×42 + 0,6×4 + 8,16 = 18,56
La recette exprimée en milliers d'euros pour la vente de de 4 milliers d'articles est:
R(4) = 8×4 = 32.
Bénéfice: R(4) − C(4) = 32 − 18,56 = 13,44. Conclusion:Le bénéfice sera de 13440 euros si l'entreprise vend 4000 articles.
• Montant du bénéfice que l'entreprise peut obtenir si elle vend 12 milliers d'articles:
Le coût total exprimé en milliers d'euros pour la fabrication de 12 milliers d'articles est:
C(12) = 0,5×122 + 0,6×12 + 8,16 = 87,36.
La recette exprimée en milliers d'euros pour la vente de de 12 milliers d'articles est:
R(12) = 8×12 = 96.
Bénéfice: R(12) − C(12) = 96 − 87,36 = 8,64. Conclusion:Le bénéfice sera de 8640 euros si l'entreprise vend 12000 articles. Il est donc plus rentable de vendre 4000 articles.
Question 2: On désigne par R(x) le montant en milliers d’euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de x milliers d’articles du produit.
On a donc R(x) = 8x.
a) Tracer dans le repère donné la courbe D représentative de la fonction recette.
b) Par lecture graphique déterminer :
• l’intervalle dans lequel doit se situer la production x pour que l’entreprise réalise un bénéfice positif;
• la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal.
Correction:
a) Représentation graphique:
b) Lecture graphique:
• Si bénéfice alors les coûts de production sont inférieurs à la recette.
Donc graphiquement, on constate:
R(x) ≥ C(x) si x ∈ [1,2; 13,6].
L'entreprise réalise un bénéfice si elle produit entre 1200 et 13600 articles.
• Le bénéfice maximum est obtenu pour une production x0 de l'intervalle [1,2; 13,6]:
Graphiquement, il semble que le bénéfice maximal soit obtenu pour une production de 7400 articles.
Question 3: On désigne par B(x) le bénéfice mensuel, en milliers d’euros, réalisé lorsque l’entreprise produit et vend x milliers d’articles.
a) Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d’euros, lorsque l’entreprise produit et vend x milliers d’articles, est donné par B(x) = −0,5x2 + 7,4x − 8,16 avec x ∈ ]0; 15].
b) Étudier le signe de B(x).
En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice.
c) Étudier les variations de la fonction B sur ]0; 15].
En déduire le nombre d’articles qu’il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal.
Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal?
Correction:
a) Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par:
x ∈ [0; 15], B(x) = R(x) - C(x) = 8x - (0,5x2 + 0,6x + 8,16)
B(x) = -0,5x2 + 7,4x - 8,16. Conclusion:
Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est représenté par la fonction suivante:
x ∈ [0; 15], B(x) = -0,5x2 + 7,4x - 8,16.
b) Cherchons les racines:
Δ = b2 - 4ac = 7,42 - 4×(-0,5)×(-8,16) = 38,44 = 6,22 > 0.
Donc le trinôme admet deux racines: x1 = 6/5 et x2 = 68/5.
Le signe de a à l'extérieur des racines et le signe de (-a) à l'intérieur des racines.
Donc B(x) ≥ 0 si x ∈ [6/5; 68/5] soit [1,2; 13,6]. Conclusion:
L'entreprise fera un bénéfice si elle produit entre 1200 et 13600 articles.
c) B(x) = -0,5x2 + 7,4x - 8,16
B'(x) = -x + 7,4 de plus B'(x) = 0 si x = 7,4.
• B'(x) > 0 si x ∈]0; 7,4[;
&bul; B'(x) < 0 si x ∈ ]7,4; 15[.
La fonction est croissante puis décroissante donc B admet un maximum en 7,4, ce maximum vaut: B(7,4) = 19,22. Conclusion:
Le bénéfice maximal est de 19220 euros, il est obtenu pour la vente de 7400 articles.
Probabilités:
Exercice 1:
On considère la loi de probabilité d'une variable aléatoire X:
On considère unjeu de 32 cartes.
Un joueur, après avoir misé 1,50 euros, tire au hasard une carte.
• Si le joueur tire un as, il gagne 4 euros;
• S'il tire un roi, il gagne deux euros;
• S'il tire une dame ou un valet, il gagne un euro;
• Sinon il perd 50 centimes d'euros.
On note G la variable aléatoire qui à chaque carte tirée associe le gain algébrique du joueur.
Question 1: Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins 50 centimes d'euros?
Correction:
Les gains possibles sont:
• 4 - 1,5 = 2,5; s'il tire un as alors il gagne 2,50 euros;
• 2 - 1,5 = 0,5; s'il tire un roi alors il gagne 0,50 euros;
• 1 - 1,5 = -0,5; s'il tire un valet ou une dame alors il perd 0,50 euros;
• -0,5 - 1,5 = -2; s'il tire une carte différente alors il perd 2 euros.
Le joueur doit tirer soit un roi soit un as; dans un jeu de 32 cartes, il y a 4 rois et 4 as.
• La probabilité de tirer un roi est : 4/32 = 1/8;
• La probabilité de tirer un as est: 4/32 = 1/8. Conclusion:
La probabilité de gagner au moins 0,50 euros est: 1/8 + 1/8 = 2/8 = 1/4.
Question 2: Déterminer la loi de probabilité.
Correction:
La loi de probabilité de G est donnée par le tableau suivant:
xi
-2
-0,5
0,5
2,5
P(X=xi) = pi
16/32
8/32
4/32
4/32
Question 3: Calculer l'espérance de G et interpréter ce résultat.
Correction:
E(G) = x1×p1 + x2×p2 + x3×p3 + x4×p4
E(G) = (-2)×(16/32) + (-0,5)×(8/32) + 0,5×(4/32) + 2,5×(4/32)
E(G) = -0,75. Conclusion:
E(G) < 0, en moyenne le joueur perd 0,75 euros, le jeu est donc défavorable au joueur.
Exercice 3:
Alexis dispose d'un dé tétraédrique qui détermine de façon équiprobable un nombre parmi 1, 2, 3 et 4.
Victoria dispose d'un dé octaédrique qui détermine de façon équiprobable un nombre parmi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8.
On jette les deux dés, si le dé d'Alexis indique un nombre strictement supérieur à celui de Victoria, alors Victoria donne 12 euros à Alexis.
Si les numéros indiqués sont identiques alors la partie est nulle.
Si le dé d'Alexis indique un numéro strictement inférieur à celui de Victoria, Alexis donne 3 euros à Victoria.
On note G la variable aléatoire donnant le gain algébrique d'Alexis à ce jeu.
Question 1: a) Quelles sont les valeurs prises par G.
b) Déterminer la loi de probabilité de G.
Correction:
a) G peut prendre les valeurs: -3; 0 ou 12.
b) Loi de probabilité:
• Tableau explicatif:
Dé 2 / Dé 1
1
2
3
4
1
0
12
12
12
2
-3
0
12
12
3
-3
-3
0
12
4
-3
-3
-3
0
5
-3
-3
-3
-3
6
-3
-3
-3
-3
7
-3
-3
-3
-3
8
-3
-3
-3
-3
• Loi de probabilité:
xi
-3
0
12
P(X=xi) = pi
22/32
4/32
6/32
Question 2: Calculer l'espérance mathématique de G. Le jeu est-il équitable?
Correction:
E(X) = (-3)×(22/32) + 0×(4/32) + 12×(6/32)
E(X) = (-66/32) + (72/32)
E(X) = 6/32 = 3/16.
Comme E(X) = 3/16 ≠ 0, le jeu n'est pas équitable.
Question 3: On remplace les 12 euros par a euros.
Quelle valeur faut-il donner à a pour que le jeu soit équitable?
Correction:
On veut que le jeu soit équitable: on remplace 12 par a.
Cherchons la valeur de a:
E(X) = (-3)×(22/32) + 0 + a×(6/32)
E(X) = -66/32 + (6a/32) = 0
Donc -66 + 6a = 0 ⇔ 6a = 66 ⇔ a = 66/6
⇔ a = 11.
Exercice 4:
On propose le jeu suivant: un joueur mise 3 euros puis tire un ticket au hasard dans une urne qui contient 5% de tickets portant le numéro 15, 10% de tickets portant le numéro 10, 20% de tickets
portant le numéro 5 et le reste protant la mention "perdu".
• Si le ticket porte le numéro 15, il gagne 15 euros;
• Si le ticket porte le numéro 10, il gagne 10 euros;
• Si le ticket porte le numéro 5, il gagne 5 euros;
• Si le ticket porte la mention "perdu", il ne gagne rien.
On appelle X la variable aléatoire définie par le gain algébrique du joueur?
Question 1: Déterminer la loi de probabilité de X.
Correction:
X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique (gain - mise) peut prendre les valeurs: -3; 2; 7 ou 12. Loi de probabilité:
xi
-3
2
7
12
P(X=xi) = pi
65/100
20/100
10/100
5/100
Question 2:Calculer l'espérance mathématique de X.
E(X) ≠ 0, le jeu n'est donc pas équitable.
Cette valeur représente le gain moyen qu'obtiendrait un joueur s'il jouait à ce jeu un grand nombre de fois.
E(X) < 0, le jeu est défavorable au joueur.
Question 4:Par quelle valeur doit-on remplacer le gain de 15 euros pour que le jeu soit équitable.
Correction:
xi
-3
2
7
x
P(X=xi) = pi
65/100
20/100
10/100
5/100
Le jeu est équitable si E(X) = 0.
E(X) = -3×65/100 + 2×20/100 + 7×10/100 + x×5/100
E(X) = -85/100 + 5x/100 = 0
d'où -85 + 5x = 0 soit x = 17.
Le jeu sera équitable si le gain est de 20 euros (= 17 + 3).
Exercice 5:
Une urne contient trois boules non discernables au toucher, numérotées 1, 2 et 3.
Le jeu est le suivant:
Le joueur mise 10 euros, puis effectue trois tirages successifs d'une boule avec remise.
On admet que tous les tirages sont équiprobables.
On note dans l'ordre les trois chiffres tirés.
- Si ces trois chiffres sont identiques, le joueur reçoit 25 euros;
- Si ces trois chiffres sont différents, le joueur reçoit 15 euros;
- Si la somme de ces trois chiffres vaut 7, le joueur reçoit 13 euros;
- Dans tous les autres cas, il ne reçoit rien.
On appelle G la variable aléatoire qui, à chaque combinaison obtenue de trois chiffres, associe le gain algébrique.
Question 1: Déterminer la loi de probabilité de G.
Correction:
G la variable aléatoire correspondant au gain algébrique (gain - mise) peut prendre les valeurs: -10; 3; 5 ou 15. Loi de probabilité:
xi
-10
3
5
15
P(X=xi) = pi
12/27
6/27
6/27
3/27
Question 2:Calculer l'espérance mathématique de X; interpréter le résultat.
Correction:
E(G) = -10×12/27 + 3×6/27 + 5×6/27 + 15×3/27 = -25/100
D'où E(G) = -1. Interprétation: le joueur perd en moyenne un euro.
Question 3:On suppose que si la somme des trois chiffres vaut 7, le joueur reçoit a euros.
Par quelle valeur doit on remplacer a pour que le jeu soit équitable.
Correction:
xi
-10
a
5
15
P(X=xi) = pi
12/27
6/27
6/27
3/27
Le jeu est équitable si E(G) = 0.
E(G) = -10×12/27 + a×6/27 + 5×6/27 + 15×3/27 = 0
E(G) = -120/27 + 6a/27 + 45/27 = 0
d'où -75 + 6a = 0 soit x = 75/6 = 25/2 = 12,5.
Le jeu sera équitable si le gain est de 22,50 euros (= 12,5 + 10).
Lois Binomiales:
Exercice 1:
Reconnaître la situation:
Question 1: Une urne contient 3 boules blanches et 12 boules noires, toutes indiscernables au toucher.
On tire successivement et sans remise 3 boules de l’urne et on considère X la variable aléatoire qui compte le nombre de boules de couleur blanche.
Correction:
Non, il ne s’agit pas d’un schéma de Bernoulli car les expériences répétées ne sont ni identiques, ni indépendantes car sans remise.
Question 2: On s’intéresse à la masse des pots de confitures produits dans une usine.
On considère l’événement: « un pot a une masse inférieure à 490 grammes ».
Une étude a permis d’admettre que la probabilité de cet événement est 0,2.
On prélève au hasard 20 pots dans la production totale.
On suppose que le nombre de pots est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 pots avec indépendance.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 20 pots, associe le nombre de pots dont la masse est inférieure à 490 grammes.
Correction:
Oui, car on répète 20 fois une même expérience aléatoire, les répétitions sont indépendantes et deux issues sont possibles:
• succés p = 0,2;
• échec q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8.
La variable aléatoire qui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,2.
Question 3: Un garagiste choisit douze pneus au hasard dans son stock.
On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de douze pneus à un tirage avec remise de douze pneus.
On sait que la probabilité pour qu’un pneu pris au hasard ait un défaut est 0,065. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de douze pneus, associe le nombre de pneus de ce
prélèvement qui présentent un défaut.
Correction:
Oui, car on répète 12 fois une même expérience aléatoire, les répétitions sont indépendantes et deux issues sont possibles:
• succès : p = 0,065;
• échec: q = 1 - p = 1 - 0,065 = 0,935.
La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres n = 12 et p = 0, 065.
Exercice 2:
Une entreprise possède 50 ordinateurs.
La probabilité qu’un ordinateur tombe en panne est de 0,01.
On suppose que le fonctionnement d’un ordinateur est indépendant des autres.
Question 1: Calculer la probabilité qu’aucun ordinateur ne tombe en panne.
Correction:
On note X la variable aléatoire correspondant au nombre d’ordinateurs en panne.
On considère l’épreuve de Bernouilli qui consiste à prendre un ordinateur au hasard parmi les 50 ordinateurs de l’entreprise et ayant les issues possibles:
• S:≪ l’ordinateur est en panne ≫
• E:≪l’ordinateur n’est pas en panne ≫.
Par hypothèse P(S) = 0,01 donc p(E) = 1 − P(S) = 1 - 0,01 = 0, 99.
Ces ordinateurs étant indépendants les uns des autres, la loi de probabilité de X suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,01 (B(50; 0, 01)).
Aucun ordinateur n'est en panne, on calcule donc:
P(X = 0) = (500)p0(1 - p)50-0
P(X = 0) = 0,9950 ≈ 0,605.
Question 2: Calculer la probabilité que 5 ordinateurs soient en panne.
Question 3: Calculer la probabilité de l’événement E :
≪ au moins un ordinateur est en panne ≫.
Correction:
Considérons l'événement E:≪ au moins un ordinateur est en panne≫ et son événement contraire F:≪ Aucun ordinateur n’est en panne ≫.
P(E) = 1 - P(F) = 1 − 0,9950 ≈ 0,395.
Question 4: On note X la variable aléatoire donnant le nombre d’ordinateurs en panne parmi les 50 disponibles.
a) Que signifie p(X = 3) ? Calculer ensuite p(X = 3)
b) Calculer p(X ≤ 3). Interpréter ce résultat.
c) Calculer E(X). Interpréter ce résultat.
Correction:
a) P(X = 3) correspond à la probabilité que 3 ordinateurs exactement sur les 50 sont en panne.
P(X = 3) = (503)p3(1 - p)50-3
P(X = 3) = (503)0,013×0,9947 ≈ 0,0122.
b) P(X ≤ 3) signifie que au plus trois ordinateurs peuvent être en panne, c'est à dire que trois ordinateurs maximum peuvent être défectueux.
P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) ≈ 0,7. Conclusion: La probabilité que 3 ordinateurs au maximum soient en panne est de 0,7 environ.
c) E(X) = n×p = 50×0,01 = 5/10 = 0,5.
Cela signifie qu'en moyenne il y aura 0,5 ordinateur en panne dans cette entreprise.
Exercice 3:
Question :Sous l'hypothèse que 2% des êtres humains sont gauchers, calculer la probabilité que parmi 100 personnes, 3 au plus soient gauchères.
Correction:
On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes gauchères.
On considère l’épreuve de Bernouilli qui consiste à prendre une personne au hasard parmi les 100 personnes et ayant les issues possibles:
• S:≪ la personne est gauchère ≫
• E:≪la personne n’est pas gauchère ≫.
Par hypothèse P(S) = 0,02 donc p(E) = 1 − P(S) = 1 - 0,02 = 0, 98.
Ces personnes étant indépendantes les unes des autres, la loi de probabilité de X suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,02 (B(100; 0,02)).
Trois personnes au plus sont gauchères, on calcule donc:
P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
P(X ≤ 3) = (1000)0,020×0,98100 + (1001)0,021×0,9899 +
(1002)0,022×0,9898 + (1003)0,023×0,9897
P(X ≤ 3) ≈ 0,859.
Exercice 4:
Une compagnie bancaire propose des placements sous forme de produits financiers.
La banque constate que le produit de type A a intéressé 10 % de sa clientèle, par le passé.
Un sondage est effectué auprès d’un échantillon de 10 clients.
On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de clients dans l’échantillon ayant choisi le produit A.
Question 1: Préciser la loi de probabilité de X. Justifier. Donner les valeurs de ses paramètres.
Correction:
On effectue une répétition de 10 épreuves identiques à deux issues,
les épreuves étant indépendantes les unes des autres.
X suit donc la loi binomiale B(n=10; p=0,1).
Question 2: Calculer la probabilité, arrondie au centième, qu’au moins deux clients de l’échantillon aient choisi le produit A.
Correction:
Au moins deux clients ont choisi le produit A, considérons l'événement contraire "au plus un client a choisi le produit A".
P(X ≥ 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]
P(X ≥ 2) = 1 - [(100)0,10×0,910 + (101)0,11×0,99]
P(X ≥ 2) ≈ 0,26.
Exercice 5:
Un dentiste peu scrupuleux arrache les dents de ses patients au hasard.
Les clients ont une dent malade parmi les trente-deux qu'ils possèdent avant l'intervention des tenailles du praticien.
Question 1:On considère les dix premiers clients:
Calculer la probabilité pour qu'aucun de ces dix patients n'y laisse la dent malade.
Correction:
On considère les dix premiers clients et X la variable aléatoire donnant le nombre de clients avec la bonne dent arrachée.
On a à faire à une répétition indépendante à l’identique d’une expérience à deux issues, dont la probabilité de "succès" est de 1/32.
X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 1/32, B(10, 1/32).
P(X = 0) = (100)p0×(1 - p)10 = (31/32)10 ≈ 0,728.
Question 2: On considère les dix premiers clients:
Calculer la probabilité pour qu’au moins un de ces clients y laisse la dent malade.
Correction:
Au moins un de ces clients y laisse la dent malade, considérons l'événement contraire: aucun des 10 patients n'a laissé la dent malade.
Donc P(X > 0) = 1 - P(X = 0)
P(X > 0) ≈ 1 - 0,728
P(X > 0) ≈ 0,272.
Question 3: Combien doit-il traiter de personnes pour extraire au moins une dent malade avec une probabilité supérieure à 0,6?
Correction:
Il faut donc que la probabilité d’extraire aucune dent malade soit inférieure à 0,4.
A la calculatrice, on trouve:
• Avec un patient elle est de: (31/32) &symp; 0,969;
• Avec deux patients elle est de: (31/32)2 ≈ 0,938;
.....
• Avec 28 patients elle est de: (31/32)28 ≈ 0,411 > 0,4;
• Avec 29 patients elle est de: (31/32)29 ≈ 0,398 < 04.
Le dentiste doit traiter au moins 29 personnes.
Suites:
Exercice 1:
Une suite (un) est définie par:
un = 5n + 4.
Question 1: Montrer que la suite est arithmétique, préciser sa raison et son 1er terme.
Correction:
wn+1 = 5(n + 1) + 4 = 5n + 5 + 4 = 5n + 9
wn+1 - wn = 5n + 9 - (5n + 4) = 5n + 9 - 5n - 4
wn+1 - wn = 5.
C'est une suite arithmétique de raison R = 5 et de 1er terme
w0 = 5×0 + 4 = 4.
Question 2: Donner en justifiant le sens de variation de cette suite.
Correction:
wn+1 - wn = 5
c'est à dire: wn+1 - wn > 0.
Donc la suite est croissante.
Exercice 2:
Une usine pharmaceutique fabrique des boîtes de médicaments.
La machine de production fonctionne 7 jours sur 7 durant le mois de juin.
La production est initialement de 3500 boîtes de médicaments le 31 mai.
A partir du 1er juin, la production augmente de 60 boîtes par jour.
On note un la production le jour n du mois de juin.
Question 1: a) Exprimer un+1 en fonction de un.
b) Quelle est la nature de la suite?
Correction:
a) un la production le jour n du mois de juin et un+1 la production du lendemain.
Chaque jour la production augmente de 60 boîtes.
Donc: un+1 = un + 60.
b) un+1 = un = 60 soit un+1 - un = 60.
Donc c'est une suite arithmétique de raison R = 60 et de 1er terme
u0 = 3500.
Question 2: Exprimer un en fonction de n.
Correction:
C'est une suite arithmétique R = 60 et u0 = 3500
on a: un = u0 + n×R = 3500 + 60n.
Question 3: Pourra-t-on dépasser une production de 5000 boîtes au 24 juin?
Correction:
On doit résoudre l'inéquation suivante:
un = 3500 + 60n ≥ 5000
⇔ 60n ≥ 5000 - 3500 = 1500
⇔ n ≥ 1500/60 = 25.
Donc la production dépassera 5000 boîtes à partir du 25 juin, l'affirmation est donc fausse.