Pour vérifier qu'une propriété est satisfaite ou pas:
Si, lorsqu'une propriété est vérifiée pour un entier k, elle est satisfaite pour l'entier suivant k+1;
si, de plus, cette propriété est vérifiée pour un entier particulier n0;
alors elle est satisfaite pour tous les entiers à partir de cet entier particulier.
Faire une démonstration par récurrence impose de connaître à l'avance la propriété à démontrer: Attention à la lecture de l'énoncé!
1) Initialisation: vérifier que la propriété est vérifiée pour n0 (souvent n0 =0 ou 1).
2) Hypothèse de récurrence et hérédité: après avoir repéré la propriété, on suppose qu'elle est vraie à un certain rang k et on doit montrer qu'elle est vraie au rang k+1.
3) Conclusion: Pour tout n ≥ n0, la propriété est vraie.
Démontre, pour tout n ∈ℕ que: 2n ≥ n+1?
Initialisation:
n = 0: 20 =1 et n+1=0+1=1, donc la propriété est vraie au rang n = 0.
Hérédité:
On suppose que la propriété est vraie au rang k: 2k ≥ k+1.
On doit montrer qu'elle est vraie au rang k+1: 2k+1 ≥ (k+1)+1=k+2?
2k ≥ k+1; on multiplie par 2 les deux membres
2k+1 ≥ 2(k+1) soit 2k+1 ≥ 2k+2
2k+2 - (k+2) = k or k est un entier positif ou nul.
Donc 2k+2 ≥ k+2.
D'où 2k+1 ≥ k+2: la propriété est vérifiée au rang k+1
Conclusion:
Pour tout n ∈ ℕ: 2n ≥ n+1.
On dit qu'une suite (un) définie dans ℕ est:
• croissante, si pour tout n, un ≤ un+1;
• strictement croissante, si pour tout n, un < un+1;
• décroissante, si pour tout n, un+1 ≤ un;
• strictement décroissante, si pour tout n, un+1 < un.
• une suite dont tous les termes sont égaux est dite constante ou stationnaire, pour tout n,
un = un+1.
Soit (un) une suite définie sur ℕ, m et M deux réels:
Exemple:
Montrons que la suite (un) définie sur ℕ par un = 3 + 4sin(n) est bornée.
Pour tout n, on a: -1 ≤ sin(n) ≤ 1
-4 ≤ 4sin(n) ≤ 4, donc -1 ≤ 3 + 4sin(n) ≤ 7.
La suite (un) est bornée.
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• On dit qu'une suite converge vers l quand ses termes se "rapprochent" de plus en plus de l lorsque n devient très grand:
• On On dit qu'une suite diverge lorsqu'elle n'est pas convergente.
Deux cas à envisager:
1) La suite n'a pas de limite:
Exemple: un = (-1)n, Cette suite prend les valeurs -1 ou 1 selon les valeurs de n; elle n'admet donc pas de limite, elle diverge;
2) limn→+∞un = +∞, c'est à dire que quelque soit le réel A, à partir d'un certain rang tous les termes de la suite dépassent A.
Exemple: un = -n3, limn→+∞un = -∞.
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limn→+∞(2n+4) = +∞ et limn→+∞(-n+7) = -∞
Donc par limite de produit, limn→+∞(un×vn) = - ∞.
On factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
un = (2n2+4)/(-n2+7) = (2+4/n2)/(-1+7/n2).
limn→+∞(4/n2) = 0 et limn→+∞(7/n2) = 0
Donc par limite de quotient, limn→+∞(un/vn) = - 2.
• Soient trois suites (un), (vn) et (wn), N un entier naturel tel que pour tout entier n > N, un ≤ vn et l est un réel.
Pour tout entier naturel n ≥ 1, on a -1 ≤ sin(n) ≤ 1 donc -1/n ≤ sin(n)/n ≤ 1/n
limn→+∞(-1/n) = limn→+∞(1/n) = 0 donc par encadrement limn→+∞(sin(n)/n) = 0
• Si la suite est croissante alors la suite est majorée par l: ou encore, pour tout entier n, un ≤ l.
• Si la suite est décroissante alors la suite est minorée par l: ou encore, pour tout entier n,
un ≥ l.
Si P(A) ≠ 0, on appelle probabilité conditionnelle de B sachant A le nombre, PA(B) défini par:
On modélise cette situation par un arbre: toujours faire un arbre même s'il n'est pas demandé.
La notation PA(B) indique que A est l'événement de référence.
• Si P(A) ≠ 0 et P(B) ≠ 0, alors: • Sur un arbre, chaque succession de branches est appelée chemin et aboutit à une issue. • La probabilité d'une issue est le produit des probabilités indiquées sur les branches du chemin qui aboutit à cette issue. • La probabilité d'un événement associé à plusieurs issues est égale à la somme des probabilité de chacune de ces issues. Formule des probabilités totales:• P(B) = P(A∩B) + P(Ā∩B) = P(A)×PA(B) + P(Ā)×PĀ(B) • P(B̄) = P(A∩B̄) + P(Ā∩B̄) =P(Ā)×PĀ(B̄ )+P(A)×PA(B̄ ) Cas général: Ω un univers, on appelle système complet d'événements un ensemble d'événements de probabilités non nulles, deux à deux disjoints, dont la réunion est égale à Ω . Soit A1, A2, ..., An un système complet d'événements de l'univers Ω et B un événement quelconque dans Ω. On a: P(B) = P(A1)×PA1(B) + P(A2)×PA2(B) +...+ P(An)×PAn(B). |
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Probabilité que la personne soit malade et que le test soit positif: P(M∩T) = 0,2×0,85 = 0,17. Probabilité que le test soit positif: P(T) = P(M∩T) + P(M̄ ∩T) = 0,2×0,85 + 0,8×0,05 = 0,21. |
A et B événements indépendants signifie que: P(A∩B) = P(A)×P(B)
Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un n'intervient pas dans la réalisation de l'autre.
A et B deux événements indépendants:
<=> PB(A) = P(A);
<=> PA(B) = P(B);
<=> Ā et B indépendants.
Une usine fabrique des gilets. Chaque gilet fabriqué peut présenter deux défauts:
A: "défaut de doublure"
B: "défaut de fermeture éclair".
Le contrôle de fabrication rejette le gilet si celui-ci présente au moins un des deux défauts.
On sait que P(A) = 0,02 et P(B) = 0,04, on suppose que ces deux événements sont indépendants.
on veut calculer la probabilité que le gilet présente les deux défauts.
Comme les événements sont indépendants, on a donc:
P(A∩B) = P(A)×P(B) = 0,02×0,04 = 0,0008.
Un nombre complexe z a une forme algébrique:
z = x + iy, avec x et y deux nombres réels et i un nombre imaginaire tel que i2 = -1.
L'ensemble des nombres complexes est noté ℂ.
On appelle conjugué du nombre complexe z = x + iy, le nombre z̄ tel que: z̄ = x - iy .
Deux nombres complexes sont égaux s'ils ont la même partie réelle et même partie imaginaire:
C'est à dire : z = z' équivaut à x + iy = x' + iy'; d'où x = x' et y = y'.
Soient z=x+iy et z'=x'+iy' deux nombres complexes:
Pour noter les nombres complexes, on utilise les touches de la calculatrice et la touche "i" du clavier.
On considère: z1 = 2 - 3i et z2 = 4 - i.
• z1 + z2 = 6 - 4i;
• z1 - z2 = -2 - 2i;
• z1 × z2 = 5 - 14i;
• z1 / z2 = 11/17 - 10/17i.
Pour tout nombre réel a (≠ 0), il existe deux nombres disitncts dans ℂ dont le carré est égal à a:
• si a > 0, ce sont √a et -√a, nombres réels opposés;
• si a < 0, ce sont i√(-a) et -i√(-a), nombres imaginaires purs opposés.
Discriminant: Δ = b2 - 4×a×c | ||
Δ < 0: 2 solutions complexes conjuguées: x1 = (-b - i√(-Δ))/(2×a) et x2 = (-b + i√(-Δ))/(2×a) |
Δ = 0: Une solution: |
Δ > 0: 2 solutions réelles distinctes: x1 = (-b - √Δ)/(2×a) et x2 = (-b + √Δ)/(2×a) |
On appelle racine d'un polynôme P tout complexe λ tel que P(λ) = 0.
Si l'équation est de degré n supérieur strictement à 2, on recherche une solution évidente et on se ramène à une équation du second degré en factorisant.
A l'aide de la définition, on montre que P(λ) = 0, on peut donc factoriser P(z) par (z-λ):
P(z) = (z-λ)×Q(z) avec Q(z) un polynôme de degré (n-1) (si n=3 alors Q(z) sera un polynôme sera de degré 2).
P(z) = z3 + (√3 - i)z2 + (1 - i√3)z - i.
Calculons P(i):
P(i) = -i + i - √3 + i + √3 - i = 0, le nombre i est solution de P.
On peut donc factoriser P(z) par (z-i): on a donc: P(z) = (z-i)(az2+bz+c).
On développe et on identifie:
On obtient: P(z) = az3 + (b-ia)z2 + (c-ib)z - ic = 1z3 + (√3 - i)z2 + (1 - i√3)z - i.
Par identification:
a = 1; b - ia = √3 - i; c - ib = 1 - √3 et c = 1
On obtient: a = 1; b = √3 et c = 1.
On peut donc écrire: P(z) = (z-i)×(1z2 + √3z + 1).
Les deux autres racines de P sont les solutions de: 1z2 + √3z + 1 = 0.
On calcule le discriminant: Δ = -1 < 0
On trouve: z1 = -√3/2 - (1/2)i et z2 = -√3/2 + (1/2)i.
Ainsi, les solutions de P(z) = 0 sont:
Pour tous réels x et y et pour tout entier relatif n, on a:
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Pour tout réel x, ex > 0.
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Sens de variation:
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Courbe représentative:
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Equations du type: ex = ea a réel fixé: Exemple:ex = 1/e4 ⇔ ex = e-4 ⇔ x = -4. |
Inéquations du type: ex > ea (ou ex < ea ou ex ≥ ea ou ex ≤ ea) a réel fixé: Exemple:e2 - ex ≥ 0 ⇔ e2 ≥ ex ⇔ 2 ≥ x. |
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Soit f(x) = ex - x, calculons la limite de f en +∞ :
(ex - x) = x(ex/x - 1) or: limx→-∞x = +∞ et limx→-∞ex/x = +∞
donc limx→-∞(ex/x - 1) = +∞.limx→-∞f(x) = limx→-∞(ex - x) = +∞
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction eu: x →e(u(x)) est dérivable sur I et:
Calculons la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par: f(x) = e(x2 - 2x).
u(x) = x2 - 2x d'où u'(x) = 2x - 2.
f'(x) = (2x - 2)e(x2 - 2x).
u et v sont deux fonctions
⇔ e2+x = e-x+5 ⇔ 2+x = -x+5 ⇔ 2x = 3
⇔ x = 3/2.
L'équation admet comme unique solution 3/2.
⇔ 4+x ≥ 5-x ⇔ 2x ≥ 1
⇔ x ≥1/2.
L'ensemble des solutions est: [1/2; +∞[.
Pour tous réels x > 0 et y > 0 et pour tout entier relatif n, on a:
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La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ et pour tout réel x > 0, (ln(x))' = 1/X.
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Sens de variation:
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Courbe représentative:
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Equations du type: ln(x) = ln(a) Pour tout réel x > 0 et a réel fixé: Exemple:(1/2)ln(x) = ln(2) ⇔ ln(x) = 2ln(2) = ln(4) ⇔ x = 4. |
Inéquations du type: ln(x) > ln(a) (ou ln(x) < ln(a) ou ln(x) ≥ ln(a) ou ln(x) ≤ ln(a)) Pour tout réel x > 0 et a réel fixé: Exemple:5 - 3ln(x) ≥ 0 ⇔ 5 ≥ 3ln(x) ⇔ 5/3 ≥ ln(x) ⇔ (5/3)ln(e) ≥ ln(x) ⇔ ln(e5/3) ≥ ln(x) ⇔ 5/3 ≥ x. Donc S = ]0;5/3] |
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Soit f(x) = (ln(x))2 + ln(x) -(ln(2), calculons la limite de f en O+ :
((ln(x))2 + ln(x) -5ln(2)) = ln(x)[ln(x) + 1 - 5ln(2)/ln(x)] or: limx→0+ln(x) = -∞ et
limx→0+[ln(x) + 1 - 5ln(2)/ln(x)] = -∞
donc par produit limx→0+(ln(x)[ln(x) + 1 - 5ln(2)/ln(x)]) = +∞.limx→-∞f(x) = limx→-∞((ln(x))2 + ln(x) -(ln(2)) = +∞
Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction ln(u(x)) est dérivable sur I et pour tout x ∈ I:
Calculons la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par: f(x) = ln[(2x + 6)/(x - 1)].
u(x) = (2x + 6)/(x - 1) d'où u'(x) = -8/(x - 1)2.
f'(x) = [-8/(x - 1)2]/[(2x + 6)/(x - 1)] = [-8/(x - 1)2]×[(x-1)/(2x + 6)] = -8/[(x - 1)(2x + 6)].
u et v sont deux fonctions
Df = ]2;+∞[
ln(x - 2) + ln(2x) = ln(16) ⇔ ln[2x(x - 2)] = ln(16)
⇔ 2x2 - 4x = 16 ⇔ 2x2 - 4x - 16 = 0 ⇔ x2 - 2x - 8 = 0
Δ = 36 > 0 d'où x1 = -2 et x2 = 4
Or -2 ∉ Df
Donc la solution est: x = 4.
x(x+1) > 0 donc Df = ]-∞; -1[ ∪ ]0;+∞[
⇔ ln(x2 + x) ≤ ln(16)
⇔ x2 + x ≤ 6
⇔ x2 + x - 6 ≤ 0
Δ = 25 > 0 d'où x1 = -3 et x2 = 2
L'ensemble des solutions est: [-3; -1[ ∪ ]0;2].
Soit x > 0 et y un réel:
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Soient 2 fonctions f et F définies sur un intervalle I.
On dit que F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et admet pour dérivée f:
pour tout x de I: F'(x) = f(x).
F(x) = xex - ex - 5 est une primitive sur ℝ de f(x) = xex.
En effet en dérivant , on obtient : F'(x) = xex + ex - ex = xex = f(x) .
A retenir: si elles existent, les primitives de f sur I diffèrent d'une constante:
f continue sur I, F une primitive de f sur I, l'ensemble des primitives est de la forme: F + C avec C réel.
Toute fonction continue sur I admet des primitives sur I.
Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I, soit x0 un point de I et y0 un réel quelconque fixé.
Il existe alors une unique primitive F de f telle que:
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u est une fonction dérivable sur un intervalle I.
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On note F cette primitive, F(x) = x2 + 1/x + C, C réel.
On note G cette primitive, G(x) = x2/2 - 3x - 6/(x + 1) + C, C réel.
Donner l'expression de la primitive de g qui s'annule en 0 revient à calculer G(0) = 0 afin de trouver C:
-6 + C = 0 donc C = 6.
La primitive de g qui s'annule en 0 est définie par:
On reconnait la forme: u'eu avec u'(x) = 2x + 1 et u(x) = x2+x+3.
Une primitive de h est: H(x) =ex2+x+3
f est une fonction continue et positive sur un intervalle I = [a;b] (avec a < b) et Cf la courbe représentative de f.
Le domaine, hachuré, est le domaine délimité par la courbe de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équation x = a et x = b.
L'aire algébrique de ce domaire se note: ∫abf(x)dx.
A savoir: le résultat est exprimé en unités d'aire (noté: u.a):
si unité axe des abscisses égale 3 cm2 et celle des ordonnées égale 3 cm2 alors:
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a;b]:
f et g désignent deux fonctions continues sur un intervalle I.
Soient a, b et c des réels de I.
Soient α et β des réels.
Relation de Chasles:
∫acf(x)dx + ∫cbf(x)dx = ∫abf(x)dx.
Positivité de l'intégrale:
1) Si f ≥ 0 sur [a;b], alors ∫abf(x)dx ≥ 0.
2) Si f ≤ 0 sur [a;b], alors ∫abf(x)dx ≤ 0.
Conservation de l'ordre:
1) Si f(x) ≥ g(x), pour tout x de [a;b], alors ∫abf(x)dx ≥ ∫abg(x)dx.
2) Si f(x) ≤ g(x), pour tout x de [a;b], alors ∫abf(x)dx ≤ ∫abg(x)dx.
Linéarité:
∫ab[αf(x)dx + βg(x)] = α∫abf(x)dx + β∫abf(x)dx.
∫abf(x)dx + ∫baf(x)dx = ∫aaf(x)dx = 0.
On obtient donc:
La fonction x → 1/√x est continue et positive sur [1;3].
On note F cette primitive, F(x) = 2√x.
∫131/√xdx = [F(x)]13 = [2√x]13 = 2√3 - 3.
La fonction x → x5 + x4 est continue et positive sur [0;1].
On note F cette primitive, F(x) = (1/6)x6 + (1/5)x5.
∫01(x5 + x4)dx = [F(x)]01 = [(1/6)x6 + (1/5)x5]01 = 11/30.
On pose I = ∫12f(x)dx.
Montrons que I est positive:
sur [0;+∞[ la fonction définie par f(x) = x/(x3+√(x+1)) est positive; son intégrale sur [1;2] est donc positive .
Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a;b] (avec a ≠ b). On appelle valeur moyenne de f sur [a;b] le réel: μ = [1/(b-a)]∫abfx)dx. |
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Graphiquement, une interprétation de ce théorème est que l'aire algébrique sous la courbe représentative de f est égale à celle d'un rectangle de base [a, b], et de hauteur un point moyen de la courbe.
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Soit f définie sur ℝ par f(x) = (-1/2)x2 + 3x.
La valeur moyenne μ de f sur [0;6] est:
une primitive F de f est: F(x) = (-1/6)x3 + (3/2)x2.
μ = 1/(6 - 0)∫06f(x)dx = [F(x)]06 = (1/6)×18 = 3.