Afin de vous aider à préparer les devoirs et examens, les corrections sont détaillées. Ne vous contentez pas de lire la correction, adoptez une attitude active: faites l'exercice et vérifiez vos résultats. N'oubliez pas de revoir votre cours avant d'aborder les exercices. |
Exercice 1:
On considère la fonction définie et dérivable sur ℝ telle que:
f(x) = x + 1 + x/ex
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; I, J).
Question 1: Soit g(x) = 1 - x + ex. Dresser en le justifiant le tableau de variations de la fonction g (les limites ne sont pas demandées); en déduire le signe de g(x).
Pour tout x réel, g'(x) = -1 + ex. g'(x) = 0 alors ex = 1 = e0 donc x = 0 (car ea = eb ⇔ a = b). g'(x) < 0 d'où ex < 1 = e0 donc x < 0 (car ea < eb ⇔ a < b) . Tableau de variations: Grâce au tableau de variations, on constate que: pour tout x réel, g(x) ≥ g(0) = 2 donc g(x) > 0. |
• En -∞: limx→-∞(x + 1) = -∞. limx→-∞x/ex = -∞ (car limx→-∞x = -∞ et limx→-∞ex = 0+) Donc limx→-∞f(x) = -∞ . • En +∞: limx→+∞(x + 1) = +∞. limx→+∞x/ex = 0 (car limx→-∞ex/x = +∞) Donc limx→-∞f(x) = +∞ . |
Pour tout réel, f'(x) = 1 + 0 + (1×ex - x×ex/(ex)2 (car (u/v)' = (u'v - uv')/v2) f'(x) = 1 + ex/e2x - xex/e2x = 1 + 1/ex - x/ex = (ex + 1 - x)/ex f'(x) = e-x×(ex - x + 1). Donc f'(x) = e-x×g(x). |
Pour tout réel x, f'(x) = e-x×g(x). e-x > 0 et g(x) > 0. Donc f'(x) > 0 d'où le tableau suivant: |
La fonction f est définie continue et strictement croissante sur ℝ. 0 ∈ ]-∞; +∞[. D'après le TVI, il existe un unique α appartenant à ℝ tel que f(α) = 0. f(-1) = -1/e < 0 et f(0) = 1 > 0. Donc -1 < α < 0. |
• Tangente à la courbe au point d'abscisse 0: y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 2(x - 0) + 1. L'équation de la tangente T est: y = 2x + 1. • Position de la courbe C par rapport à T: Etude du signe de: f(x) - y = x + 1 + x/ex - (2x + 1) f(x) - y = -x + x/ex = [x(1 - ex)]/ex Pour tout réel x, ex > 0 donc le signe de f(x) - y dépend du signe de: x(1 - ex). Pour tout réel x, f(x) - y ≤ 0. Conclusion: la courbe C est en-dessous de la tangente T sur ℝ. |
Exercice 2:
Une chaîne, suspendue entre deux points d'accroche de même hauteur, peut être modélisée par la représentation graphique d'une fonction g définie sur [-1; 1] par:
g(x) = 1/(2a)×(eax + e-ax), où a est un paramètre strictement positif (on ne cherche pas à étudier la fonction g).
On montre en sciences physiques que, pour que cette chaîne ait une tension minimale aux extrémités, il faut et il suffit que le réel a soit une solution strictement positive de l'équation:
(x - 1)e2x - 1 - x = 0.
Dans la suite, on définit sur [0; +∞[ la fonction f par:
f(x) = (x - 1)e2x - 1 - x pour tout x ≥ 0.
Question 1: Déterminer la fonction dérivée de la fonction f. Vérifier que f'(0) = -2 et que:
• Pour tout x ≥ 0, f'(x) = 1×e2x + (x - 1)×(2e2x) - 1 (car (uv)' = u'v + uv' et (eu)' = u'×eu). donc f'(x) = (2x - 1)e2x - 1. • f'(0) = (2×0 - 1)e0 - 1 = -2 • limx→+∞(2x - 1) = +∞ limx→+∞(e2x) = +∞ Donc limx→+∞f'(x) = +∞ |
Pour tout x ≥ 0, f''(x) = 2×e2x + (2x - 1)×(2e2x) (car (uv)' = u'v + uv' et (eu)' = u'×eu) f''(x) = 2e2x + 4xe2x - 2e2x Donc f''(x) = 4xe2x . |
Sur l'intervalle [0; +∞[, 4x ≥ 0 et e2x > 0. Donc f''(x) ≥ 0, d'où f' est croisante. f' définie continue et strictement croissante; 0 ∈ [-2; +∞[, d'après le TVI il existe une solution unique x0 ∈ [0; +∞[ tel que f'(x0) = 0. |
Grâce au tableau de variations de la question 3, on constate que: f'(x) ≤ 0 si x ∈ [0; x0] et f'(x) > 0 si x ∈ ]x0; +∞[. D'où le tableau suivant: x ∈ [0; x0], f(x0) ≤ f(x) ≤ -2. Conclusion: x ∈ [0; x0], alors f(x) < 0. |
• f(2) = (2 - 1)e2×2 - 1 - 2 = e4 - 3 (≈ 51,6). • D'après le tableau de variation de la fonction f et le TVI, la fonction f s'annule pour une unique valeur comprise entre x0 et 2. A la calculatrice, on trouve a ≈ 1,20 à 10-2 près. |
Exercice 3:
Soit g la fonction définie sur l'intervalle [1; +∞[ par:
g(x) = 1 + x2 - 2x2ln(x).
Soit f la fonction définie sur l'intervalle [1; +∞[ par:
f(x) = ln(x)/(1 + x2). On note f' la fonction dérivé de f.
Question 1: Etudier le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle [1; +∞[. Calculer g(e) et démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution α sur l'intervalle [1; e], donner un encadrement de α d'amplitude 10-1.
g(x) = 1 + x2 - 2x2ln(x); g est dérivable comme somme de fonctions dérivables sur [1; +∞[. Donc g'(x) = 2x - [4x×ln(x) + 2x2×1/x] = 2x - 4x×ln(x) - 2x = -4x×ln(x). Comme x ≥ 1 on a ln(x) ≥ 0. Donc g'(x) ≤ 0; la fonction g est décroissante sur [1; +∞[. La fonction g définie, continue et strictement décroissante sur [1; +∞[ g(1) > 0 et g(e) < 0; 0 ∈ ]g(e); g(1)[, d'après le TVI il existe un unique α ∈ ]1; e[ tel que g(α) = 0. A la calculatrice, on trouve: g(1,8) > 0 et g(1,9) < 0 donc 1,8 < α < 1,9. |
D'après le tableau de variations: • Si x ∈ [1; α], g(x) ≥ 0; • Si x ∈ [α; +∞], g(x) < 0. |
Sur l'intervalle [1; +∞[, f est quotient de fonctions dérivables sur [1; +∞[ est dérivable sur [1; +∞[. Donc f'(x) = [1/x×(1 + x2) - 2x×ln(x)]/(1 + x2)2 (car (u/v)' = (u'v - uv')/v2). f'(x) = [1/x + x - 2x×ln(x)]/(1 + x2)2 = [1 + x2 - 2x2×ln(x)]/[x(1 + x2)2]. f'(x) = g(x)/[x(1 + x2)2]. |
On sait grâce à la question précèdente, f'(x) = g(x)/[x(1 + x2)2]. Le signe de f'(x) dépend du signe de g(x) (le dénominateur étant positif puisque x ≥ 1). Donc f est croissante sur [1; α] et décroissante sur [1; +α[. x ≥ 1 donc x2 ≤ x2 + 1 d'où 1/(x2 + 1) ≤ 1/x2 (la fonction inverse est décroissante sur ]0; +∞). De plus comme x ≥ 1, ln(x) ≥ 0 donc: ln(x)/(x2 + 1) ≤ ln(x)/x2 donc f(x) ≤ ln(x)/x2. De plus x≥ 1, alors ln(x) ≥ 0 et x2 + 1 > 0 d'où 0 ≤ f(x). Conclusion: x ≥ 1, 0 ≤ f(x) ≤ ln(x)/x2. En déduire la limite? On sait que: 0 ≤ f(x) ≤ ln(x)/x2 et que ln(x)/x2 = ln(x)/x×1/x. D'après le cours limx→+∞(ln(x)/x) = 0 et comme limx→+∞1/x = 0 alors limx→+∞ln(x)/x2 = 0. Le théorème des gendarmes permet de dire: limx→+∞f(x) = 0. |
On sait que g(α) = 0 = 1 + α2 - 2α2ln(α). 2α2ln(α) = 1 + α2 d'où ln(α) = (1 + α2)/(2α2). f(α) = ln(α)/(1 + α2) = [(1 + α2)/(2α2)]/(1 + α2) = 1/(2α2). Tableau de variation: y = 0 asymptote horizontale au voisinage de +∞ et f(1) = ln(1)/2 = 0. |
Exercice 4:
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0; +∞[ par:
f(x) = ln(x) - x2 + 1.
Question 1: Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition.
• En 0: limx→0ln(x) = -∞ et limx→0(-x2 + 1) = 1. Donc limx→0f(x)2 = -∞. La courbe présente donc une asymptote horizontale d'équation: x = 0. • En +∞: f(x) = x(ln(x)/x - x + 1/x). limx→+∞ln(x)/x = 0 et limx→+∞(-x + 1/x) = -∞. limx→+∞x = +∞, par produit on a: limx→+∞f(x) = -∞. |
f'(x) = 1/x - 2x = [1 - 2x2]/x. f'(x) = 0, 1 - 2x2 = 0, les solutions sont -1/√2 et 1/√2 Seule la solution 1/√2 convient. |
x est strictement positif, donc le signe de f'(x) est le signe du numérateur. f'(x) > 0 si x ∈ ]0; 1/√2[. f'(x) < 0 si x ∈ ]1/√2; +∞[. f(1/√2) = [1 - ln(2)]/2 ≈ 0,15 (> 0). |
f est définie, continue est strictement croissante sur ]0; 1/√2[. 0 ∈ ]-∞; f(1/√2)[; d'après le TVI, il existe une unique solution α à l'équation f(x) = 0 sur ]0; 1/√2[. De même sur ]1/√2; +∞[, f es définie, continue et strictement décroissante. 0 ∈ ]-∞; f(1/√2)[; d'après le TVI, il existe une unique solution β à l'équation f(x) = 0 sur ]1/√2; +∞[. Donc l'équation f(x) = 0 admet deux solutions exactement. |
f(1) = ln(1) - 12 + 1 = 0, donc β = 1 (car 1/√2 < 1). A la calculatrice on trouve: f(0,4) <0 et f(0,5) > 0 donc l'encadrement est: 0,4 < α < 0,5 à 10-1 près. |
Exercice 5:
Le directeur d’un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas.
Il réalise le schéma suivant de ce toboggan en perspective cavalière.
Voici ce schéma :
Partie A: Modélisation
Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe C représentant la fonction f définie sur l’intervalle [1; 8] par:
La fonction f est dérivable sur [1;8] en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. |
On a donc: f(x) = axe−x. |
Partie B: Un aménagement pour les visiteurs
On admet dans la suite que la fonction f introduite dans la partie A est définie pour tout réel
x ∈ [1; 8] par: f (x) = 10xe−x.
Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d’exercice.
Sur le devis qu’il propose, celui-ci demande un forfait de 300 euros augmenté de 50 euros par mètre carré peint.
En dérivant g comme un produit, on a pour tout réel de [1;8]: |
L’aire du mur à peindre correspond à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équation x = 1 et x = 8. |
Partie C: Une contrainte à vérifier
Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan.
On considère un point M de la courbe C , d’abscisse différente de 1.
On appelle α l’angle aigu formé par la tangente en M à C et l’axe des abscisses.
La figure suivante illustre la situation:
Les contraintes imposent que l’angle α soit inférieur à 55 degrés.
Question 1: On note f′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [1;8].
La fonction f′ est dérivable sur [1; 8] et sur cet intervalle [1; 8]: |
Une équation de la tangente à la courbe C au point M d’abscisse a est donc de la forme: |
A la calculatrice: tan55° ≈ 1,43. |
Exercice 1:
On désigne par f la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels ℝ telle que:
f(x) = 1/(1 + e-x)
Question 1: Démontrer que pour tout x réel, f(x) = ex/(1 + ex).
Pour tout réel x, ex/(1 + ex) = ex/(ex(1 + e-x) (mettre ex en facteur au dénominateur) Car ex×e-x = 1/ex-x = e0 = 1. En simplifiant, on obtient: 1/(1 + e-x) = f(x). |
f(x) = ex/(1 + ex), f(x) est du type u'/u car u(x) = 1 + ex et donc u'(x) = ex. On sait que: ex > 0 donc 1 + ex > 0. Une primitive de ex/(1 + ex) est: ln(u(x) = ln(1 + ex). I = ∫01 f(x)dx = [ln(1 + ex)]01 = ln(1 + e) - ln(2). I = ln(1 + e) - ln(2) = ln((1 + e)/2) (car ln(a/b) = ln(a) - ln(b). |
Exercice 2:
On désigne par f la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels ℝ telle que:
f(x) = xe-x
On note C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal (O; I, J).
Question 1: Démontrer que la fonction g définie et dérivable sur ℝ telle que: g(x) = -(x + 1)e-x est une primitive de f sur ℝ.
Pour tout réel x, g'(x) = -1×e-x - (x + 1)×(-e-x) (car (eu)' = u'×eu) d'où g'(x) = -1×e-x + x×e-x + 1×e-x = x×e-x = f(x). On a: g'(x) = f(x) donc la fonction g est une primitive de f sur ℝ. |
f(x) = xe-x, e-x > 0 donc le signe de f(x) est le même que le signe de x. d'où f(x) ≤ 0 si x ∈ ]-∞; 0] et f(x) > 0 si x ∈ ]0; +∞[. |
La fonction est positive sur [0; +∞[, donc sur [0; ln(10)]. I = ∫0ln(10) f(x)dx = [g(x)]0ln(10) = g(ln(10)) - g(0). g(ln(10)) = -(ln(10) + 1)e-ln(10) = -(ln(10) + 1)/10 (car e-ln(10) = eln(10)-1 = 10-1 = 1/10 et eln(x) = x) et g(0) = -1. I = -(ln(10) + 1)/10 + 1 = (9 - ln(10))/10 unités d'aire. |
Exercice 3:
On considère la fonction définie sur [0; 250] telle que:
f(x) = 2/(1 + 19e-0,04x)
Question 1: Vérifier que pour tout réel x appartenant à [0; 250], on a f(x) = 2e0,04x/(19 + e0,04x).
Pour tout réel x, 2e0,04x/(19 + e0,04x) = 2e0,04x/(e0,04x(1 + 19e-0,04x)) 2e0,04x/(e0,04x(1 + 19e-0,04x)) = 2/(1 + 19e-0,04x) = f(x). |
Pour montrer que F est une primitive de f il faut montrer que: F'(x) = f(x). F'(x) = 50×(0,04×e0,04x)/(19 + e0,04x) (car (ln(u))' = u'/u). F'(x) = 2×e0,04x/(19 + e0,04x) = f(x). La fonction F est une primitive de la fonction f. |
la valeur moyenne d'une fonction f sur un intervalle [a; b] est donnée par: μ = 1/(b - a) ∫abf(x)dx. Donc μ = 1/(100 - 50) ∫50100f(x)dx = 1/50[F(x)]50100 μ = 1/50[F(100) - F(50)] μ ≈ 1,03. |
Exercice 4:
On considère la fonction définie sur ]-2; +∞[ telle que:
f(x) = (x2 + 3x + 5)/(x + 2)2
Question 1: Vérifier que pour tout réel x appartenant à ]-2; +∞[, on a:
1 - 1/(x + 2) + 3/(x + 2)2 = (x + 2)2/(x + 2)2 - (x + 2)/(x + 2)2 + 3/(x + 2)2 = [(x + 2)2 - (x + 2) + 3]/(x + 2)2 = (x2 + 4x + 4 - x - 2 + 3)/(x + 2)2 = (x2 + 3x + 5)/(x + 2)2 = f(x). |
Sur ]-2; +∞[, les primitives de f sont de la forme: F(x) = x - ln(x + 2) - 3/(x + 2) + k (car forme u'/u dont une primitive est ln(u) et forme u'/u2 dont une primitive est -1/u) Cherchons k pour que F(0) = 0 F(0) = 0 - ln(2) - 3/2 + k = 0 Donc k = ln(2) + 3/2 . La primitive qui s'annule pour x = 0 est la fonction définie par: F(x) = x - ln(x + 2) - 3/(x + 2) + ln(2) + 3/2 . |
∫01 f(x)dx = [F(x)]01 ∫01 f(x)dx = [F(1) - F(0)] F(0) = -ln(2) - 3/2 + ln(2) + 3/2 = 0 et F(1) = 1 - ln(3) - 1 + ln(2) + 3/2 = ln(2) - ln(3) + 3/2. ∫01 f(x)dx = ln(2/3) + 3/2 (car ln(a/b) = ln(a) - ln(b)). |
Exercice 5:
On désigne par f la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels ℝ telle que:
f(x) = xe-x et on pose I = ∫01 f(x)dx.
Question 1: Vérifier que pour tout x réel, f(x) = -f'(x) + e-x.
Pour tout réel x, f(x) = xe-x Forme u×v et (u×v)' = u'×v + u×v'. f'(x) = 1×e-x - x×e-x = e-x - f(x) (car (eu)' = u'×eu). f'(x) = e-x - f(x) donc f(x) = e-x - f'(x). |
Comme f(x) = e-x - f'(x) On intégre membre à membre et on applique la propriété de linéarité de l'intégrale ( ∫ (f+g) = ∫ f + ∫ g). ∫01 f(x)dx = ∫01 (e-x - f'(x)) = ∫01 (e-x)dx - ∫01 f'(x)dx. Une primitive de e-x est: -e-x et une primitive de f'(x) est: f(x). I = ∫01 f(x)dx = [-e-x]01 - [f(x)]01 = [-e-1 + e0] - [f(1) - f(0)]. I = 1 - 1/e - 1/e = 1 - 2/e. |
Exercice 1:
Soit P(z) = z4 - 14z3 + 74z2 - 126z + 585.
Question 1: Calculer P(3i).
P(3i) = (3i)4 - 14(3i)3 + 74(3i)2 - 126(3i) + 585. (3i)4 = 81; (3i)3 = -27i et (3i)2 = -9. P(3i) = 81 - 14×(-27i) + 74×(-9) - 126×(3i) + 585 P(3i) = 0, (3i) est racine de P. |
Comme P est à coefficients réels, on a: P̄(̄z̄)̄ = P(z̄) Donc si z est racine de P, alors z̄ est également racine. Conclusion: si (3i) est racine de P, alors (-3i) est également racine. |
P(z) = (z2 + 9)Q(z) = (z2 + 9)(az2 + bz + c). P(z) = az4 + bz3 + (c + 9)z2 + 9bz + 9c = 1z4 - 14z3 + 74z2 - 126z + 585; Par identification: a = 1; b = -14; c + 9 = 74; 9b = -126 et 9c = 585. D'où a = 1; b = -14 et c = 65. Donc Q(z) = 1z2 -14z + 65, on a: P(z) = (z2 + 9)(1z2 -14z + 65). Les racines de z2 + 9 sont 3i et (-3i) (car z2 + 9 = (z - 3i)(z + 3i)).
Les racines de z2 - 14z + 65 sont: z1 = 7 - 4i et z2 = 7 + 4i Conclusion: P a quatre solutions: -3i; 3i; 7 - 4i et 7 + 4i. |
Exercice 2:
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O; u⃗, v⃗).
Soit z un nombre complexe de la forme x + iy, où x et y sont des réels.
Pour ce QCM, chaque réponse est à justifer et une seule réponse est exacte.
Question 1: Soit z le nombre complexe (1 + i)4; l'ecriture complexe de z est:
Soit z = 1 + i; ∣ z ∣ = √ 2 et arg(z) = π/4. D'après le cours: ∣ zn ∣ = ∣ z ∣n et arg(zn) = n×arg(z). D'où ∣ (1 + i)4 ∣ = ∣ 1 + i ∣4 = 4 et arg((1 + i)4) = 4×arg(1 + i) = 4×π/4 = π. Conclusion: z = 4eiπ: Réponse b. |
• ∣ z - 1 + i ∣ = ∣ x + iy - 1 + i ∣ = ∣ (x - 1) + i(y + 1) ∣ = √[(x - 1)2 + (y + 1)2]; • ∣ √3 - i ∣ = √(3 + 1) = √4 = 2; (x - 1)2 + (y + 1)2 = 4: équation cercle centre Ω(1; -1) et de rayon R = 2. Réponse c |
Un = ∣ Zn ∣ et on sait que: Zn+1 = ((1 + i)/2)Zn. D'où ∣ Zn+1 ∣ = ∣ ((1 + i)/2)Zn ∣. Comme ∣ ((1 + i)/2) ∣ = √2/2, on Un+1 = √2/2×Un.
La suite (Un) est géométrique de raison q = √2/2 et de premier terme q = √2/2 (≈ 0,7) donc comme -1 < q < 1 alors la suite est convergente. Réponse c. |
z = (zC - zA)/(zB - zA) = [(1 + 5i) - (-1 - i)]/[(2 - 2i) - (-1 -i)] z = (2 + 6i)/(3 - i) = 2i; donc z = 2i on a donc trouver un imaginaire pur. Le triangle est rectangle en A. (car (zC - zA)/(zB - zA) = 2i donc (AB⃗ , AC⃗ ) = arg(2i) soit (AB⃗ , A⃗C) = π/2 (modulo 2π)). Réponse c. |
Exercice 3:
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O; u⃗, v⃗).
Soient A, B et Ctrois points d'affixes respectives a, b et c.
Caractériser le plus précisément possible le triangle ABC dans les deux cas suivants:
Question 1: (b - c)/(a - c) = 2i:
• ∣ (b - c)/(a - c) ∣ = ∣ 2i ∣. ∣ (b - c)/(a - c) ∣ = 2 soit BC/AC = 2 et donc BC = 2AC. • arg[(b - c)/(a - c)] = arg(2i) donc (CA⃗, CB⃗ ) = π/2.
Conclusion: Le triangle est rectangle en C mais il n'est pas isocèle |
• ∣ (c - a)/(b - a) ∣ = ∣ 1/2 - i√3/2 ∣ = √((1/2)2 + (√3/2)2)
∣ (c - a)/(b - a) ∣ = 1 soit AC/AB = 1 et donc AC = AB, ABC triangle isocèle • arg[(c - a)/(b - a)] = arg(1/2 - i√3/2) donc (AB⃗,AC⃗ ) = -π/3 (sens indirect). Conclusion: Le triangle est équilatéral car isocèle en A et a un angle de 60°. |
Exercice 4:
Question 1: Résoudre l'équation z2 - 2z + 4 = 0 dans ℂ et écrire les solutions sous forme exponentielle.
Résoudre: z2 - 2z + 4 = 0 Δ = 4 - 16 = -12 (< 0) d'où Δ = 12i2 = (2i√3)2.
z1 = (2 + 2i√3)/2 = 1 + i√3 et z2 = 1 - i√3. • ∣ z1 ∣ = √(12 + (√3)2) = √4 = 2.
• On appelle α un argument de z1; cosα = 1/2 et sinα = √3/2 • L'écriture exponentielle de z1: z1 = ∣ z1 ∣eiα = 2eiπ/3 et donc z2 = 2e-iπ/3 (car conjugué de z1). |
Z = (z2 - z3)/(z1 - z3) = (1 - i√3 - 1 - √2 + i)/(1 + i√3 - 1 - radic;2 + i) Z = (-√2 + i(1 - √3))/(-√2 + i(1 + √3)) = (√2 - i(1 - √3))/(√2 - i(1 + √3)) on multiplie numérateur et dénominateur parle conjugué de ce dernier. Z = [(√2 - i(1 - √3))×(√2 + i(1 + √3))]/[(√2 - i(1 + √3))×(√2 + i(1 + √3))] (dénominateur: forme (a - b)(a + b) = a2 - b2). Z = 2i√6/(6 + 2√3) = i√6/(3 + √3) d'où Z est un imaginaire pur. |
• ∣ Z ∣ = ∣ i√6/(3 + √3) ∣ = √6/(3 + √3) • Arg(Z) = arg(i√6/(3 + √3)) donc (CA⃗ ,CB⃗ ) = π/2. Conclusion: Le triangle ABC est rectangle en C mais non isocèle. |
Exercice 5:
On note ℂ l’ensemble des nombres complexes.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O; u⃗, v⃗).
On prendra comme unité 2 cm sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.
On considère la fonction f qui à tout nombre complexe z associe:
f(−1 + i√3) = (−1 + i√3)2 + 2(−1 + i√3) + 9 |
f(z) = 5 ⇔ z2 + 2z + 9 = 5 ⇔ z2 + 2z + 4 = 0. |
f(z)=λ ⇔ z2 + 2z + 9 = λ ⇔ z2 + 2z + (9−λ) = 0. |
f(z) − 8 = z2 + 2z + 9 − 8 = z2 + 2z + 1 = (z+1)2. |
a) f(z) = z2 + 2z + 9 = (x+iy)2 + 2(x+iy) + 9 = x2 + 2ixy − y2 + 2x + 2iy + 9 = x2 − y2 + 2x
+ 9 + i(2xy+2y). |
Le cercle (F) est de centre Ω d’affixe −1 et de rayon √3. |
Exercice 1:
Thomas possède un lecteur MP3 sur lquel il a stocké plusieurs millers de morceaux musicaux.
L'ensemble des morceaux musicaux qu'il possède se divise en trois genres distincts selon la répartition suivante: 30% de musique classique, 45% de variété et le reste étant du jazz.
Thomas a utilisé deux qualités d'encodage pour stocker ses morceaux musicaux: un encodage de haute qualité et un encodage standard.
On sait que:
• Les 5/6 des morceaux de musique classique sont encodés en haute qualité;
• Les 5/9 des morceaux de variété sont encodés en qualité standard.
On considérera les événements suivants:
∗ C:"le morceau écouté est un morceau de musique classique";
∗ V:"le morceau écouté est un morceau de variété";
∗ J:"le morceau écouté est un morceau de jazz";
∗ H:"le morceau est encodé en haute qualité";
∗ H:"le morceau est encodé en qualité standard".
Thomas décide d'écouter un morceau au hasard parmi tous les morceaux stockés sur son MP3 en utilisant la fonction "lecture aléatoire".
Question 1: Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un morceau de musique classique encodé en haute qualité?
Arbre pondéré: P(C∩H) = 0,30×5/6 = 0,25. La probabilité qu'il s'agisse d'un morceau de musique classique encodé en haute qualité est P(C∩H) = 0,25. |
On sait que : P(H) = 13/20.
Question 2: Les événements C et H sont-ils indépendants?
• P(C∩H) = 0,25. • P(C)×P(H) = 0,30×13/20 = 0,195. Conclusion: P(C∩H) ≠ P(C)×P(H) donc les événements C et H ne sont pas indépendants. |
P(H) = P(H∩C) + P(H∩V) + P(H∩J) (probabilités totales) P(H∩J) = P(H) - P(H∩C) - P(H∩V) P(H∩J) = 13/20 - 0,25 - 0,45×4/9 = 0,2. PJ(H) = P(H∩J)/P(J) = 0,2/0,25 = 0,8. |
Exercice 2:
Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en milimètres .
Une bille et dite hors norme lorsque son diamètre est inférieur à 9 mm ou supérieur à 11 mm.
La probabilité qu’une bille soit hors norme et 0,0 124.
On met en place un contrôle de production tel que 98 % des billes hors-norme sont écartées et 99 % des billes correctes sont conservées.
On choisit une bille au hasard dans la production.
On note à N l’événement: "La bille choisie est aux normes" et A l’événement: "La bille est acceptée à l’issue du contrôle".
Partie A:
Question 1: Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l’énoncé
Arbre pondéré: |
P(A) = P(A∩N) + P(A∩N̄) (probabilités totales). P(A) = P(N)×PN(A) + P(N̄)×PN̄(A) P(A) = 0,9876×0,99 + 0,0124×0,02 P(A) ≈ 0,978. |
La bille est acceptée; elle est hors-norme: calculons: PA(N̄) PA(N̄) = P(A∩N̄)/P(A) = [P(N̄)×PN̄(A)]/P(A) PA(N̄) = [0,0124×0,02]/0,978 PA(N̄) = 2,5×10-4. |
Partie B:
Le contrôle de production se révélant trop coûteux pour l’entreprise il est abandonné dorénavant toutes les billes produites sont donc conservées et elles sont conditionnées en sac de 100 billes.
On admettra que prendre au hasard un sac de 110 revient à effectuer un tirage avec remise de 100 billes dans l'ensemble des billes fabriquées.
On appelle Y la variable aléatoire qui à tout sac de 100 billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac.
Question 1: Quelle est la loi suivie par la variable Y? Justifiez votre réponse.
Y est la variable aléatoire qui a tout sac de 100 billes associe le nombre de billes hors-normes de ce sac. Tous les tirages sont identiques et chaque tirage possède deux issues N et N̄. P(N̄) = 0,0124. Y suit une loi binomiale de paramètres p = 0,0124 et n = 100. |
• E(Y) = n×p = 100×0,0124 = 1,24; • V(Y) = n×p×(1 - p) = 1,22; • σ(Y) = √(V(Y)) = √[n×p×(1 - p)] = √1,24 = 1,106. |
Le sac contient exactement deux billes hors-normes. P(Y = 2) = (1002)p2(1 - p)100-2 (car P(X = k) = (nk)pk(1 - p)n-k) P(Y = 2) = 4950×0,01242×0,987698 P(Y = 2) ≈ 0,224. |
Le sac contient au plus une bille hors-normes: donc il en contient soit 0 soit 1. P(Y ≤ 1) = P(Y = 0) + P(Y = 1) P(Y ≤ 1) = (1000)p0(1 - p)100 + (1001)p1(1 - p)99 P(Y ≤ 1) ≈ 0,648. |
Exercice 3:
Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs: 35% des plants proviennent de l'horticulteur H1, 25% de l'horticulteur H2 et le reste de l'horticulteur H3.
Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres: des conifères et des arbres à feuilles.
La livraison de l'horticulteur H1 comporte 80% de conifères, celle de H2 50% et celle de H3 seulement 30%.
Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
On envisage les événements suivants:
∗ H1:"l'arbre a été acheté chez l'horticulteur H1";
∗ H2:"l'arbre a été acheté chez l'horticulteur H2";
∗ H3:"l'arbre a été acheté chez l'horticulteur H3";
∗ C:"l'arbre choisi est un conifère";
∗ F:"l'arbre choisi est un feuillu".
Partie A:
Question 1: Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l’énoncé
Arbre pondéré: |
P(C∩H3) = P(H3)×PH3(C) = 0,4×0,3 = 0,12. |
P(C) = P(C∩H1 + P(C∩H2) + P(C∩H3) P(C) = P(H1)×PH1(C) + P(H2)×PH2(C) +P(H3)×PH3(C) P(C) = 0,35×0,8 + 0,25×0,5 + 0,4×0,3 P(C) = 0,525. |
On sait que l'arbre choisi est un conifère; on veut calculer PC(H1). PC(H1) = P(C∩H1)/P(C) P(C) = [0,35×0,8]/0,525 P(C) ≈ 0,533. |
Partie B:
On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie.
On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock.
On apelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi.
Question 1: Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
X variable aléatoire qui donne le nombre de conifères: "Succés" choisir un conifère. Donc choisir un arbre qui est ou non un conifère est une épreuve de Bernoulli de paramète p = P(C) = 0,525. On répète 10 fois cette épreuve de manière indépendante (car tirages avec remise), donc X suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,525. |
P(X = 5) = (105)p5(1 - p)10-5 (car P(X = k) = (nk)pk(1 - p)n-k). P(X = 5) = (105)0,5255(1 - 0,525)10-5 ≈ 0,243. |
L'évenement "Au moins deux feuillus" correspond à l'événement: "au plus 8 conifères".
Considérons l'événement contraire de l'événement: "au plus 8 conifères", soit l'événement: "Le nombre de conifères est strictement supérieur à 8" Donc P(X ≤ 8) = 1 - P(X > 8) = 1 - [P(X = 9) + P(X = 10)] P(X ≤ 8) = 1 - [(109)0,5259(1 - 0,525)1 + (1010)0,52510(1 - 0,525)0] P(X ≤ 8) ≈ 0,984. |
Exercice 4:
Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation.
Chaque jouet produit par l’entreprise est soumis à deux contrôles : d’une part l’aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu’il ne présente pas de défaut de finition, d’autre part sa solidité est testée.
Il s’avère, à la suite d’un grand nombre de vérifications, que :
• 92 % des jouets sont sans défaut de finition;
• parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95 % réussissent le test de solidité;
• 2 % des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles.
On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits.
On note : F l’évènement : « le jouet est sans défaut de finition » et
S l’évènement : « le jouet réussit le test de solidité ».
Partie A:
Question 1: Traduire les données de l’énoncé en utilisant les notations des probabilités et démontrer que: PF̄(S̄) = 1/4.
• P(F) = 0,92; • PF(S) = 0,95; • P(F̄∩S̄) = 0,02; • PF̄(S̄) P(F̄∩S̄)/P(F̄) = 0,02/(1 - 0,92) = 0,02/0,08 = 0,25 = 1/4. |
|
P(S) = P(S∩F) + P(S∩F̄) = 0,92×0,95 + 0,08×0,75 = 0,874+0,06 = 0,934 (probabilités totales). |
On doit trouver: PS(F)= P(S∩F)/P(S) = 0,874/0,934 ≈ 0,936. |
Partie B:
Question 1: Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 10 €, ceux qui n’ont pas satisfait au test de solidité sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un bénéfice de 5 €.
• Les jouets qui satisfont aux deux contrôles rapportent 10 euros: F∩S ; • Les jouets qui n'ont réussi que le contrôle de solidité rapportent 5 euros: F̄∩S ; • Les autres rapportent 0 euro: F̄∩S̄.
E(X) = 0,874×10 + 0,06×5 + 0,166×0 = 8,74 + 0,30 = 9,04€. Le bénéfice moyen par jouet est de 9,04 euros. |
On répète 10 fois, de façon indépendante, une épreuve à 2 issues (succès si test de solidité réussi p = 0, 934). |
Exercice 1:
La ligne C12 de bus relie les stations Gare et Gendarmerie. Un bus arrive toutes les 5 minutes.
Question 1: Alexis arrive au hasard à la station Gare, quelle est la probabilité qu'il attende plus de trois minutes?
La variable aléatoire qui mesure son temps d'attente suit une loi uniformesur [0; 5] (temps exprimé en minutes). |
Un bus relie les deux stations en un temps compris entre 8 et 12 minutes.
La fonction densité associée est la fonction constante définie par:
P(10 ≤ X ≤ 12) = ∫1012 (1/4)dt = (12 - 10)/4 |
Exercice 2:
Deux amis se donnent rendez-vous dans un centre commercial entre 12h00 et 14h00.
Tom décide d’arriver à 12h30 alors que Thomas arrive au hasard entre 12h00 et 13h00.
On appelle X la variable aléatoire donnant l’heure d’arrivée de Thomas.
La variable aléatoire qui mesure le temps d'attente suit une loi uniforme sur [12; 13]. |
Thomas arrive avant Tom, il doit donc arriver entre 12h00 et 12h30. |
Thomas arrive entre 12h15 et 12h30. |
Tom attend plus de 10 minutes, donc Thomas arrive après 12h40. |
Exercice 3:
Le temps, mesuré en heures, nécessaire pour réparer une certaine machine suit la loi exponentielle de paramètre λ = 1/2.
Question 1: Quelle est la probabilité que le temps de réparation excède deux heures?
X la variable aléatoire mesurant le temps, mesuré en heures, nécessaire pour réparer une certaine machine. |
La probabilité qu’une réparation prenne au moins 10 heures sachant que sa durée a déjà dépassé 9 heures est: |
Exercice 4:
La durée de vie en heure d'un certain modèle d'ampoules est une variable aléatoire X.
La durée moyenne de bon fonctionnement est ègal à 6000 heures.
On admet que la loi suivie par X est une loi exponentielle.
La durée moyenne de bon fonctionnement est de 6000 heures, cela correspond à l'espérance de la variable X qui mesure la durée de vie des ampoules; |
On prend une ampoule au hasard.
Question 2: Quelle est la probabilité de l'événement: "L"ampoule dure moins de 1000 heures"?
L'ampoule dure moins de 1000 heures, on calcule: |
L'ampoule dure au moins de 7000 heures, on calcule: |
On doit calculer: |
Exercice 5:
La durée en jours d'une plongée effectuée par un sous marin nucléaire est modélisée par une variable aléatoire de loi exponentielle.
En consultant les livres de bord, on constate que 88 % des plongées ont duré plus de 6 jours.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de jours de plongée: |
P(X ≥ 3) = 1 - ∫03 λe-λtdt |
P(X > 7)(X > 10) = P((X > 7)∩(X > 10))/P(X > 7) = P(X > 10)/P(X > 7) |
On retrouve les mêmes résultats car la loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement donc la probabilité qu'une plongée dépasse dix jours sachant que le sous-marin est immergé depuis déjà 7 jours est égale à la probabilité qu’une plongée dépasse 3 jours. |
Exercice 1:
La production laitière annuelle en litres des vaches laitières de la race FFPN peut être modélisée par une variable aléatoire à densité X, de loi normale de moyenne μ = 6000 et d’écart-type σ =
400.
La fonction g désigne la fonction de densité de cette loi normale.
Afin de gérer au plus près son quota laitier (production maximale autorisée), en déterminant la taille optimale de son troupeau, un éleveur faisant naître des vaches de cette race souhaite disposer de certaines probabilités:
Question 1: Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise moins de 5800 litres par an.
A la calculatrice, on trouve: P(X ≤ 5800) ≈ 0,3085. |
P(5900 ≤ X ≤ 6100) ≈ 0,1974. |
P(X ≥ 6250) = 1 - P(X ≤ 6250) ≈ 0,2660. |
Dans son futur troupeau, l’éleveur souhaite connaître :
Question 4: La production maximale prévisible des 30% de vaches les moins productives du troupeau.
Il s’agit de déterminer la valeur x de X telle que: P(X ≤ x) = 0,30. |
Il s’agit de déterminer la valeur x de X telle que: P(X ≥ x) = 0,20 soit |
Exercice 2:
Une entreprise fabrique des pièces. Celles-ci sont considérées comme conformes si leur longueur est comprise entre 79,8 mm et 80,2 mm.
On note L la variable aléatoire qui, à chaque pièce fabriquée, associe sa longueur en mm.
On admet que la variable L suit une loi normale d'espérance 80 et d'écart-type 0,0948.
On prélève une pièce au hasard dans la production.
A la calculatrice, on trouve: P(79,8 ≤ L ≤ 80,2) ≈ 0,965. |
PL > 80,1(L ≤ 80,2) = P((L > 80,1)∩(L ≤ 80,2))/P(L > 80,1) |
L'entreprise souhaite améliorer la qualité de la production.
Pour cela on projette de changer le processus de fabrication des pièces.
On définit alors une nouvelle variable aléatoire L′ qui à chaque pièce à construire selon le nouveau processus associera sa longueur en mm.
La variable aléatoire L′ suit une loi normale d'espérance m = 80 et d'écart-type σ.
P(79,8 ≤ L' ≤ 80,2) ≈ 0,99 |
Exercice 3:
Une tablette de chocolat doit peser 100 grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en moins.
Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre 98 et 102 grammes.
La masse (exprimée en grammes) d’une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance μ = 100 et d’écart-type σ = 1.
Le réglage des machines de la chaîne de fabrication permet de modifier la valeur de σ.
A la calculatrice, on trouve: P(98 ≤ X ≤ 102) ≈ 0,954. |
P(98 ≤ X' ≤ 102) ≈ 0,97 |
Exercice 4:
D’après une étude statistique faite sur plusieurs mois, on admet que le nombre X de cadenas premier prix vendus par mois dans le magasin de bricolage peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne μ = 750 et d’écart-type σ = 25.
Question 1: Calculer P(725 ≤ X ≤ 775).
A la calculatrice, on trouve: P(725 ≤ X ≤ 775) ≈ 0,683. |
On cherche donc le plus petit entier n tel que: P(X ≥ n) < 0,05. |
Exercice 5:
On note X la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source A, associe le taux de calcium de l’eau qu’elle contient.
On suppose que X suit la loi normale de moyenne 8 et d’écart-type 1,6.
On note Y la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source B, associe le taux de calcium qu’elle contient.
On suppose que Y suit la loi normale de moyenne 9 et d’écart-type σ.
A la calculatrice, on trouve: P(6,4 ≤ X ≤ 9,6) ≈ 0,683. |
A la calculatrice, on trouve: P(X ≤ 6,5) ≈ 0,174. |
P(Y ≤ 6,5) = 0,1. |
Exercice 1:
Lors d'une élection présidentielle, le candidat A a été élu avec 52% des suffrages.
Dans une ville X, le candidat A a obtenu 51% des suffrages sur 44850 suffrages exprimés.
Dans une autre ville Y, le candidat A a obtenu 50% des suffrages sur 1850 suffrages exprimés.
On sait que la proportion de votes favorables au candidat A est: p = 0,52. |
Exercice 2:
Les résultats seront arrondis à 10-4 près.
Un ostréiculteurs affirme que 60% de ses huitres ont une masse supérieure à 91 g.
Un restaurateur souhaiterait lui acheter une grande quantité d’huîtres mais il voudrait, auparavant, vérifier l’affirmation de l’ostréiculteur.
Le restaurateur achète auprès de cet ostréiculteur 10 douzaines d’huîtres qu’on considèrera comme un échantillon de 120 huîtres tirées au hasard.
Sa production est suffisamment importante pour qu’on l’assimile à un tirage avec remise.
Il constate que 65 de ces huîtres ont une masse supérieure à 91 g.
n = 120 et on suppose que p = 0,6. |
Dans l'échantillon de 120 huitres, la fréquence des huitres ayant une masse supérieure à 91g est: |
Exercice 3:
Les résultats seront arrondis à 10-2 près.
À des fins publicitaires, le grossiste affiche sur ses plaquettes : « 88% de notre thé est garanti sans trace de pesticides ».
Un inspecteur de la brigade de répression des fraudes souhaite étudier la validité de l’affirmation.
À cette fin, il prélève 50 boîtes au hasard dans le stock du grossiste et en trouve 12 avec des traces de pesticides.
On suppose que, dans le stock du grossiste, la proportion de boîtes sans trace de pesticides est bien égale à 0, 88.
On note F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50 boîtes, associe la fréquence des boîtes ne contenant aucune trace de pesticides.
n = 50 et on suppose que p = 0,88. |
Dans l'échantillon de 50 boîtes, la fréquence des boîtes ayant des traces desticides est: |
Exercice 4:
Une association de consommateurs décide d’estimer la proportion de personnes satisfaites par l’utilisation de cette crème.
Elle réalise un sondage parmi les personnes utilisant ce produit.
Sur 140 personnes interrogées, 99 se déclarent satisfaites.
Soit 𝑓 la proportion de personnes satisfaites par l’utilisation de cette crème sur les 140 personnes interrogées: d’après l’énoncé 𝑓 = 99/140. |
Exercice 5:
Un fabricant souhaite évaluer la proportion inconnue p de clients satisfaits par son produit.
Pour cela, il effectue un sondage auprès d'un échantillon de 200 clients.
Sa clientèle est suffisamment importante pour considérer que cet échantillon résulte d'un tirage aléatoire avec remise.
Lors de ce sondage, 156 clients se sont déclarés satisfaits par son produit.
Soit 𝑓 la proportion de personnes satisfaites par l’utilisation de ce produit sur les 200 personnes interrogées: d’après l’énoncé 𝑓 = 156/200 =
0,78. |
Soit 𝑓 la proportion de personnes satisfaites par l’utilisation de cette crème sur les 140 personnes interrogées: d’après l’énoncé 𝑓 = 99/140. |
La proportion inconnue de clients satisfaits n’appartient pas nécessairement à l’intervalle de confiance. |
Exercice 1:
Partie A:
Soit (un) la suite définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, par la relation:
un+1 = aun + b (a et b réels non nuls tels que a ≠ 1).
On pose, pour tout entier naturel n, vn = un − b/(1 - a).
vn+1 = un+1 − b/(1 - a) = aun + b - b/(1 - a) |
vn = v0×qn = v0×an; on sait que a ∈ ]-1; 1[, donc limn→+∞vn
= 0. |
En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm.
On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur.
La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants.
Dès qu’il rentre chez lui, Max taille sa plante.
Après la taille la plante mesure 80×(1 − 1/4) = 80×3/4 = 60. |
a) D’une année sur l’autre, tailler le quart revient à multiplier par |
Exercice 2:
Partie A:On considère l’algorithme ci-dessous :
VARIABLES:
k et p sont des entiers naturels
u est un réel
ENTREE:
Demander la valeur de p
TRAITEMENT:
Affecter à u la valeur 5
Pour k variant de 1 à p
Affecter à u la valeur 0,5u + 0,5(k - 1) − 1,5
Fin de pour
SORTIE:
Afficher u
|
Soit (un) la suite définie par son premier terme u0 = 5 et, pour tout entier naturel n par:
un+1 = 0,5un + 0,5n − 1,5.
Algorithme modifié pour afficher en sortie toutes les valeurs de un pour n variant de 1 à p.
VARIABLES: |
|
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|
|
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|
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|
|
Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite (un ) est décroissante ?
Justifier.
On constate que u3 < u4. |
Initialisation : Si n = 3, −0,375 > −0,75 donc u4 > u3. |
vn+1 = 0,1un+1 − 0,1(n + 1) + 0,5 = 0,1un + 1 − 0,1n + 0,4 |
On a: |
Comme 0 < 0,5 < 1 alors limn→+∞0,5n = 0. |
Exercice 3:
Partie A:
Les deux questions sont indépendantes.
Toute réponse doit être justifiée.
Pour tout entier naturel n, ln(un+1) = ln(un) − 1 |
On considère la suite (vn) définie par vn = e−n. |
Exercice 4:
Partie A:
L’objet de cet exercice est l’étude de la suite (un) définie par son premier terme u1 = 3/2 et la relation de récurrence:
un+1 = [n×un + 1]/[2(n + 1)].
On définit une suite auxiliaire (vn) par: pour tout entier n ≥ 1, vn = n×un − 1.
vn+1 = (n+1)un+1 − 1 = (n + 1)×[n×un + 1]/[2(n + 1)] - 1 = (1/2)×[nun+1 + 1 - 2] = (1/2)×[nun+1 - 1]=
(1/2)×vn. |
On a donc: vn = v1×qn-1 = 0,5×0,5n−1 = 0,5n. |
Comme -1 < 0,5 < 1 alors limn→+∞0,5n = 0. |
un+1 - un = (1 + (0, 5)n+1)/(n + 1) - (1 + (0, 5)n)/n |
Ecrire un algorithme permettant de déterminer et d’afficher le plus petit entier n tel que:
un < 0, 001.
VARIABLES: |
Exercice 5:
On considère la suite (un) définie par: u0 = 1/2 et telle que pour tout entier naturel n,
un+1 = 3un/(1 + 2un).
a) u1 = 3u0/(1 + 2u0) = 3/4 et u2 = 3u1/(1 + 2u1) = 9/10. |
a) un+1 - un = 3un/(1 + 2un) - un = [3un - un(1 + 2un)]/[1 +
2un] |
a) vn+1 = un+1/(1 − un+1) = [3un/(1 + 2un)]/[1 - 3un/(1 + 2un)] |
Exercice 1:
Pour les affirmations 1 et 2, on munit l’espace d’un repère orthonormé, et on considère les plans P1 et P2 d’équations respectives:
Le plan P1 a pour vecteur normal n⃗1(1; 1; 1) et le plan P2 a pour vecteur normal n⃗2(7; −2; 1). |
Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les plans sont sécants. |
Pour les affirmations 3 et 4, on considère les points E (2 ; 1 ; - 3), F (1 ; -1 ; 2) et G (-1 ; 3 ; 1) dont les coordonnées sont définies dans un repère orthonormé de l’espace.
Affirmation 3: Une représentation paramétrique de la droite (EF) est donnée par :
• t = 1, on obtient les coordonnées de E; |
EF⃗(−1;−2;5) et EG⃗(−3;2;4). |
Exercice 2:
Dans un repère orthonormé (O, I, J, K) d’unité 1 cm, on considère les points A(0 ; −1 ; 5),
B(2; −1; 5), C(11; 0; 1) et D(11; 4; 4).
Un point M se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1 cm par seconde.
Un point N se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1 cm par seconde.
À l’instant t = 0 le point M est en A et le point N est en C.
On note Mt et Nt les positions des points M et N au bout de t secondes, t désignant un nombre réel positif.
On admet que Mt et Nt, ont pour coordonnées:
Mt(t; −1; 5) et Nt(11; 0,8t; 1 + 0,6t).
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
a) Un vecteur directeur de la droite (AB) est AB⃗(2;0;0). x = t y = -1 z = 5 d) Une représentation paramétrique de la droite (AB) est: y = −1, t ∈ ℝ z = 5 Une représentation paramétrique de la droite (CD) est: y = 4t', t' ∈ ℝ z = 1 + 3t' On résout le système suivant: -1 = 4t' 5 = 1 + 3t' Les droites (AB) et (CD) ne sont pas sécantes. |
a) MtNt2 = (11 − t)2 + (0,8t + 1)2 + (1 + 0,6t − 5)2 |
Exercice 3:
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère:
• les points A(0; 1; −1) et B(−2; 2; −1);
• la droite D de représentation paramétrique:
Un vecteur directeur de (AB) est AB⃗(2;1;0) y = 1 + k, k ∈ ℝ z = −1 |
La droite (AB) a pour vecteur directeur AB⃗(2;1;0). 1 + k = 1 + t −1 = −1 − t D'où : k = 0 k = 1 Il n’y a donc pas de solution. Conclusion: Les droites (AB) et D ne sont pas sécantes. |
Dans la suite la lettre u désigne un nombre réel.
On considère le point M de la droite D de coordonnées (−2 + u; 1 + u; −1 − u).
Le plan P a pour vecteur normal n⃗(1; 1; -1), ce vecteur est le vecteur directeur de la droite D. |
−4 + 6u + 3 − 3u − (−1) − 3u = −4 + 6u + 3 − 3u + 1 − 3u = 0. y = 1 + k z = -1 x + y - z - 3u = 0 y = 1 + k z = -1 k = 2 - 3u y = 3 - 3u z = -1 k = 2 - 3u |
a) La droite D est orthogonale en M au plan P; donc la droite D est perpendiculaire à toute droite du plan P passant par M, elle est perpendiculaire à la
droite (MN) contenue dans P puisque N ∈ P. |
a) MN2 = (−2 + 5u)2 + (2−4u)2 + u2 |
Exercice 4:
Dans un repère orthonormé (O, I, J, K), on considère les points A(1;2;5), B(−1; 6; 4), C(7; −10; 8) et D(−1; 3; 4).
Affirmation 1: Les points A, B et C définissent un plan.
On a: AB⃗(−2; 4; −1) et AC⃗(6; −12; 3). |
On admet que les points A, B et D définissent un plan.
Affirmation 2: Une équation cartésienne du plan (ABD) est: x − 2z + 9 = 0.
• Pour A: 1 – 10 + 9 = 0; |
D'après l'énoncé, le vecteur directeur est le vecteur u⃗(3/2 ; −3 ; 3/2). |
Soit P le plan d’équation cartésienne: 2x − y + 5z + 7 = 0 et P′ le plan d’équation cartésienne: −3x − y + z + 5 = 0.
Affirmation 4: Les plans P et P ′ sont parallèles.
le plan P a pour vecteur normal n⃗(2;−1;5), le plan P′ a pour vecteur normal n⃗′(−3 ; −1 ; 1). |
Exercice 5:
On considère un solide ADECBF constitué de deux pyramides identiques ayant pour base commune le carré ABCD de centre I.
Une représentation en perspective de ce solide est donnée ci-dessous:
Toutes les arêtes sont de longueur 1.
L’espace est rapporté au repère orthonormé (A;AB⃗,AD⃗,AK⃗).
a) Dans le triangle ABC rectangle en B on applique le théorème de Pythagore: |
On nomme M le milieu du segment [DF] et N celui du segment [AB].
Question 2:
a) DC⃗(1, 0, 0) et DF⃗(1/2; -1/2; -√2/2). |